  I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1. Đa giác   1 A 2 ...A n   là hình gồm   n      A 1 A 2 ; A 2 A 3 ; ... A n A 1   trong đó bất kì hai đoạn  thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng   (Hình 1a;  1b).  2.        là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa  bất kì cạnh nào của đa giác   (Hình 1c).  Lưu ý:   Trong chương trình THCS, chúng ta sẽ chỉ xét các đa giác lồi. Vì vậy, nếu không  giải thích gì thêm, chúng ta viết "đa giác" để thay cho "đa giác lồi".  3. Các khái niệm khác  * Một đa giác có   n      n- giác.  Ví dụ:   tam giác, tứ giác, ngũ giác, thập giác,..., 100 - giác.  * Đường chéo   của đa giác là các đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của đa giác đó.* Đa giác đều   là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau (Hình  2).  B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN  A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA  Dạng 1. Nhận biết đa giác  Phương pháp giải:   Sử dụng định nghĩa đa giác trong phần   Tóm tắt lý thuyết     Bài 1:   Cho lục giác   ABCDEF   . Kẻ các đường chéo   AC   ,   AD   ,   AE   . Kể tên các đa giác có  trong hình vẽ  Bài 2:   Cho tam giác đều   ABC   , các đường cao   AD   ,   BE   ,   CF   cắt nhau tại   H   . Gọi   I   ,   K   ,  M   theo thứ tự là trung điểm của   HA   ,   HB   ,   HC   . Chứng minh rằng   DKFIEM   là lục  giác đều.  Bài 3:     Dạng 2: Tính chất về góc của đa giác.  Phương pháp giải:   Tổng các góc trong của đa giác   n   cạnh (n > 2) là (n-2).180°.  Bài 4:  a) Tính tổng các góc của đa giác 17 cạnh.  b) Đa giác bao nhiêu cạnh thì có tổng các góc bằng   2160    ?  Bài 5:   Góc ngoài của đa giác là góc kề bù với một góc của đa giác. Ta coi ở mỗi đỉnh của     360    .  Dạng 3: Tính chất về đường chéo của đa giác.  Phương pháp giải : Xét số đường chéo xuất phát từ một đỉnh.  Bài 6:   Tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo hơn số cạnh là 42.

Chuyên đề đa giác, đa giác đều

DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHÓP ĐỀU  A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN  I. Công thức tính diện tích, thể tích hình chóp đều  Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi với trung đoạn.  Như vậy, ta có:   . xq S   p d   Trong đó:     p là nửa chu vi đáy.     d trung đoạn.  Diện tích toàn phần   của hình chóp đều bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy.  Như vậy, ta có:    tp   xq S   S   S      Thể tích   của hình chóp đều bằng một phần ba tích của diện tích đáy nhân với chiều cao.  Như vậy, ta có:   1   .  3  V   S h   Trong đó:     S là diện tích đáy.     h là chiều cao.  II. Công thức tính diện tích, thể tích hình chóp cụt đều  Với hình chóp cụt đều, ta có:  a.   Diện tích xung quanh:  1   (   ')  2  xq S   p   p   d      Trong đó:     p và p’ lần lượt là chu vi hai đáy.     d là đường cao của mặt bên.  b.   Thể tích:  1   .(   '   ')  3  chãp côt V   h   B   B   BB         Trong đó:     B, B’ là diện tích các đáy     h là độ dài đường cao  II. VÍ DỤ MINH HỌA  Ví dụ 1:   Một hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên bằng 25cm, đáy là hình vuông ABCD cạnh  30cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.     Hướng dẫn:   Trước tiên, đi tính độ dài trung đoạn bằng việc sử dụng định lý Pytago. Cuối cùng sử  dụng các công thức có sẵn.  Giải – Học sinh tự vẽ hình.Kẻ   SM   BC    thì SM là trung đoạn của hình chóp đều S.ABCD (S là đỉnh).  Do tam giác ABC cân tại S nên AM cũng là trung tuyến.  1   1   .30   15(   )  2   2  MB   MC   BC   cm               Xét   SBM    có:     2   2   2   2  90   25   15   20 (   ) o  M   SM   SB   MB   cm                     Ta có:   2   2  (   )   (   )  1   .4.30   60 (   );   30   900 (   )  2  ABCD   ABCD p   cm   S   cm            2   2  .   60.20   1200 (   );   S   900   1200   2100 (   ) xq   tp S   p SM   cm   cm                  Ví dụ 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các hình chóp tứ giác đều trong hình 126.     Hướng dẫn: Ta lần lượt:     Với các câu a), câu b) sử dụng ngay các công thức có sẵn.     Với các câu c), trước tiên, đi tính độ dai trung đoạn bằng việc sử dụng định lý Pytago. Cuối cùng  sử dụng các công thức có sẵn.  Giải:  a) Hình a) là hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy là 20m,trung đoạn 20m. Ta có:     Diện tích xung quanh:   2  (2.20).20   800(   ) S   m         Diện tích toàn phần:   2   2  800   20   1200(   ) S   m         b) Hình b) là hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy là 7cm, trung đoạn 12cm.     Diện tích xung quanh:   2  (2.7).12   168(   ) S   cm         Diện tích toàn phần:   2   2  168   7   217(   ) S   cm         c) Hình c) là hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy là 16cm, trung đoạn 17cm. Ta có:     Trung đoạn   2   2  17   8   15(   ) d   cm            Diện tích xung quanh:   2  (2.16).15   480(   ) S   m         Diện tích toàn phần:   2   2  480   16   736(   ) S   m         Ví dụ 3: (Bài 45/trang 12-SGK) Tính thể tích của mỗi hình chóp đều trong hình 130, 131.

Chuyên đề diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp đều

DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG  A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ  Diện tích xung quanh   của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân chiều cao.  Như vậy, ta có:  2   . xq S   p h   Trong đó:     p là nửa chu vi đáy.     h là chiều cao.  Diện tích toàn phần   của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.  Như vậy, ta có:        2 tp   xq    S   S   S  Thể tích   của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.  Như vậy, ta có:  . V   S h    .  Trong đó:     S là diện tích đáy.     h là chiều cao.  B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  VÍ DỤ 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các hình lăng trụ đứng trong hình 102.     Hướng dẫn:   Sử dụng các công thức có sẵn.     Giải  a) Hình hộp chữ nhật (hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật) có:     Diện tích xung quanh:            2  2 3   4 5   70 xq S   cm            Diện tích toàn phần:            2  70   2 3.4   94 tp S   cm         b) Hình lăng trụ đứng tam giác   . ABC DEF   có   ABC    vuông tại A nên:  2   2  2   3   13 BC            .Ta lần lượt có:     Diện tích xung quanh:            2  2   3   13 5   25   5 13 xq S   cm                  Diện tích toàn phần:      2 1  25   5 13   2   .2.3   31   5 13  2  tp S   cm                               .  VÍ DỤ 2: Các hình a), b), c) trong sgk gồm một hoặc nhiều dạng lăng trụ đứng. Hãy tính thể tích và diện  tích toàn phần của chúng theo các kích thước đã cho trên hình 111.     Hướng dẫn:   Ta lần lượt:     Với hình a), tính độ dài cạnh đáy thứ ba bằng việc sử dụng định lí Py-ta-go. Tới đây, ta đi sử  dụng các công thức có sẵn.     Với hình b), sử dụng nhận xét nó chính bằng hình a.     Với hình c), cần chia nó thành hai khối lăng trụ đứng.     Giải  a) Hình a) là lăng trụ có đáy là tam giác vuông có:     Các cạnh 6cm, 8cm và cạnh thứ ba là   2   2  6   8   10 cm       .     Chiều có   3 h   cm    .  Do đó:       3 1  .   .6.8.3   72  2  V   S h   cm          .            2 1  2S   6   8   10 .3   2.   .6.8   120  2  tp   xq S   S   cm                      .  b) Hình b) là lăng trụ đứng bằng lăng trụ đứng ở hình a). Do đó:      3  72 V   cm    ;       2  120 tp S   cm   c) Hình c) gồm 2 lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.  Ta có:                      3  4.1   1.1 .3   15 V   cm                           2  4   2   1   1 .2   16 xq  S   cm

Chuyên đề diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng

THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT  A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN  1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC.  Ví dụ 1:   Quan sát hình hộp chữ nhật ở hình 84:  -   A A    có vuông góc với   AD   hay không? Vì sao?  -   A A    có vuông góc với   AB   hay không? Vì sao?     Giải  Ta lần lượt có:  -   A A    có vuông góc với   AD,   bởi   ADD A    là hình chữ nhật.  -   A A    có vuông góc với   AB,   bởi   ABB A    là hình chữ nhật.     Tổng kết và mở rộng:  1. Khi đường thẳng   A A    vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau   AD   và   AB   trong mặt phẳng       ABCD  ta nói   A A    vuông góc với mặt phẳng       ABCD   và kí hiệu       AA   ABCD       .  2. Khi một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại thì người ta nói  hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau, ví dụ             AA B B   ABCD          bởi mặt phẳng       AA B B       chứa đường  thẳng   AA    vuông góc với       ABCD   .     Nhận xét:   Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng tại điểm A thì nó vuông góc với mọi    Ví dụ 2:   Tìm trên hình 84:  - Các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng       ABCD   .  - Các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng   (   ) A B C D             .     Giải  Ta lần lượt có:  - Các đường thẳng   A A    ,   B B    ,   C C    ,   D D    vuông góc với mặt phẳng       ABCD   .  - Các mặt phẳng       A ABB       ,       B BCC       ,       C CDD       ,       D DAA       vuông góc với mặt phẳng       A B C D             .  2. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT.  Với   hình hộp chữ nhật   có ba kích thước a, b, c ta có:   Diện tích xung quanh:      2 xq S   a   b c       .     Diện tích toàn phần:            2S   2   2a   2 tp   xq   d S   S   a   b c   b   ac   bc   ab                         .     Thể tích:  V   abc    .    3  V   a    .  Ví dụ 3:   Tính thể tích của hình hộp chữ nhật biết ba kích thước bằng 3cm, 4cm, 5cm.     Giải  Ta có ngay:   3  3.4.5   60 V   cm       .  Ví dụ 4:   Cho hình lập phương   1   1   1   1 . ABCD A B C D   . Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể  tích của hình lập phương đó, biết:  a)   6 AB   cm    b)   4   2 AC   cm    c)   1   3   3 AC   cm      Giải  a) Ta có ngay:     Diện tích xung quanh:   2   2   2  4   4.6   144 xq S   a   cm          .     Diện tích toàn phần:   2   2   2  6   6.6   216 tp S   a   cm          .     Thể tích:   3   3   3  6   216 V   a   cm          .  b) Để tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lập phương, ta cần biết số    Trong   ABC    vuông cân tại B, ta có:  2   2   2   2   2  32   4 AC   AB   BC   a   a   a   cm                      .  Khi đó, hình lập phương   1   1   1   1 . ABCD A B C D   có:     Diện tích xung quanh:   2   2   2  4   4.4   64 xq S   a   cm            Diện tích toàn phần:   2   2   2  6   6.4   96 tp S   a   cm            Thể tích:   3   3   3  4   64 V   a   cm          .  c) Để tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lập phương, ta cần biết số    Trong   1 ACC    vuông tại C, ta có:  2   2   2   2   2   2   2   2  1   1   1   3   27   3a   3 C A   AC   C C   AB   BC   C C   a   a   cm                              Khi đó, hình lập phương   1   1   1   1 . ABCD A B C D   có:

Chuyên đề thể tích của hình hộp chữ nhật

HÌNH CHÓP ĐỀU  HÌNH CHÓP ĐỀU – HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU  A.BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN  1.HÌNH CHÓP     là hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là  các tam giác có chung đỉnh.  Hình bên cho ta hình ảnh của   hình chóp   S.ABCD, và ở đó:  1. Điểm S được gọi là      của hình chóp.  2. Các đoạn SA, SB, SC, SD được gọi là   các cạnh bên   của hình chóp.  3. Các tam giác SAB, SBC, SCD, SAD được gọi là các   mặt bên   của hình chóp.  4. Mặt ABCD là      của hình chóp.  5. Hình chóp này có đáy là tứ giác nên gọi là   hình chóp tứ giác.  2. HÌNH CHÓP ĐỀU   :   Hình chóp đều   là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là tam giác cân bằng  nhau có chung đỉnh.  Hình bên cho ta hình ảnh của   hình chóp tam giác đều   S.ABC, và ở đó:  1. Điểm S được gọi là      của hình chóp.  2. Các đoạn SA, SB, SC bằng nhau được gọi là các   cạnh bên   của bên hình chóp.  3. Các tam giác SAB, SBC, SAC là các tam giác cân đỉnh S, chúng được gọi là  các   mặt bên   của hình chóp.  4. ABC là một tam giác đều và nó được gọi là      của hình chóp.  5. Đoạn SM (với M là trung điểm của AB) được gọi là   trung đoạn.  6. Đoạn SO (với O là tâm của đáy ABC) được gọi là     7. Hình chóp này có đáy là tam giác đều nên gọi là   hình chóp tam giác đều .  3. HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU     Cắt một hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với    hình chóp cụt đều.  Hình bên cho ta hình ảnh của   hình chóp cụt đều   1   1   1   1 ABCDA B C D   và ở đó  mỗi mặt bên của nó đều là những hình thang cân bằng nhau.  B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  Ví dụ 1:   Hãy xét sự đúng, sau của các phát biểu sau:  a.   Hình chóp đều có đáy là hình thoi và chân đường cao trùng với giao điểm hai đường chéo của  b.   Hình chóp đều có đáy là hình chữ nhật và chân đường cao trùng với giao điểm hai đường chéo  của đáy.     Hướng dẫn:   Dựa vào định nghĩa của hình chóp đều.  Giải:  a. Phát biểu: Hình chóp đều có đáy là hình thoi và chân đường cao trùng với giao điểm hai đường chéo  của đáy là sai:  Vì hình thoi không phải là một đa giác đều nên hình chóp có đáy là hình thoi không phải là hình chóp    b. Phát biểu: Hình chóp đều có đáy là hình chữ nhật và chân đường cao trùng với giao điểm hai đường  chéo của đáy là sai.  Vì hình chữ nhật không phải là đa giác đều nên hình chóp có mặt đáy là hình chữ nhật không phải là  hình chóp đều.  Ví dụ 2:   Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD.  a.   Chứng minh rằng   (   ). SO   ABCD   b.   Chứng minh rằng   (   )   (   ). SAC   SBD      Hướng dẫn:   Dựa vào định nghĩa của hình chóp đều.  Giải:  a. Ta lần lượt có:     Trong   , SAC    ta có:   SA   SC   SAC       cân tại S   (1) SO   AC         Trong   , SBD    ta có:   SB   SD   SBD       cân tại S   (2) SO   BD      Từ (1),(2) suy ra   (   ) SO   ABCD   b. Từ kết quả câu a), ta có:   SO   AC    (3)  Mặt khác, vì ABCD là hình vuông nên   BD   AC    (4)  Từ (3) và (4) suy ra:   (   )   (   )   (   )   (   ) SBD   AC   SAC   SAC   SBD            Ví dụ 3:   Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao h và cạnh đáy bằng a. Gọi M, N theo thứ tự là  trung điểm của AB và CD. Tìm mối liên hệ giữa a và h để   SMN    là tam giác đều.     Hướng dẫn:   Sử dụng điều kiện về đường trung tuyến trong tam giác đều.  Giải:  Trong   , SMN    ta có:   MN   BC   a      Do đó, để   SMN    là tam giác đều điều kiện là:  3   3  2   2  MN   a  SO   h         Vậy, với   3  2  a  h      thì   SMN    là tam giác đều.

Chuyên đề hình chóp đều, hình chóp cụt đều

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG  A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN  1. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG     Hình lăng trụ đứng   là hình có các mặt bên đều là những hình chữ nhật.  Hình bên cho ta hình ảnh của   hình lăng trụ đứng   1   1   1   1 . ABCD A B C D   , và ở đó:  1. Các điểm   A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1        2. Các đoạn   1 AA   ,   1 BB   ,   1 CC   ,   1 DD   song song với nhau và bằng  nhau, chúng được gọi là   các mặt bên.  3. Các mặt   1 ABB A   ,   1   1 BCC B   ,   1   1 CDD C   ,   1   1 ADD A   là những hình  chữ nhật, chúng được gọi là các   mặt bên.  4. Hai mặt   ABCD   ,   1   1   1   1 A B C D   là   hai đáy.  5. Hình lăng trụ này có đáy là tứ giác nên gọi là   lăng trụ tứ giác.  Ví dụ 1:   Cho một hình lăng trụ đứng:  - Hai mặt phẳng chứa hai đáy có song song với nhau hay không?  - Các cạnh bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy hay không?  - Các mặt bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy hay không?     Giải  Ta lần lượt có:  - Hai mặt phẳng chứa hai đáy có song song với nhau, bởi chúng đều chứa hai cặp đường thẳng cắt nhau  và song song với nhau.  - Các cạnh bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy, bởi mỗi cạnh bên đều vuông góc với hai cạnh đáy  cắt nhau.  - Các mặt bên có vuông góc với hai mặt phẳng đáy, bởi chúng chứa cạnh bên vuông góc với đáy.     Nhận xét:   Như vậy:     Hình hộp chữ nhật, hình lập phương cũng là những hình lăng trụ đứng.     Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.  2. THÍ DỤ  Với hình vẽ trong phần 1, ta nhận thấy:  - Hai mặt đáy   ABCD   và   1   1   1   1 A B C D   là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.  - Độ dài mỗi cạnh bên được gọi là   chiều cao,   thí dụ chiều cao   1 AA   .  B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  VÍ DỤ 1:   1   1   1 . ABC A B C   là một lăng trụ đứng tam giác.  a) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng song song với nhau.  b) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.  c) Sử dụng kí hiệu “//”, “        1 AA   1 BB   1 CC   AB   BC   AC   1   1 A B   1   1 B C   1   1 A C      ABC      1   1   1 A B C      1   1 ABB A     Hướng dẫn:   Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ đứng.    Giải  a) Ta chỉ có             1   1   1 / / ABC   A B C   .  b) Ta có:         1   1 AA B B   ,       1   1 BB C C   ,       1   1 AA C C   cùng vuông góc với       ABC   .         1   1 AA B B   ,       1   1 BB C C   ,       1   1 AA C C   cùng vuông góc với       1   1   1 A B C   .  c) Ta có:  1 AA   1 BB   1 CC   AB   BC   AC   1   1 A B   1   1 B C   1   1 A C      ABC                     / /   / /   / /      1   1   1 A B C            / /   / /   / /               1   1 ABB A         / /        VÍ DỤ 2: Cho hình lăng trụ đứng   1   1   1   1 . ABCD A B C D   có đáy   ABCD   là hình thang cân       / / AB   CD   có AC  vuông góc với   BD.  a) Đường thẳng   BD   và   1 A C   có cắt nhau không? Vì sao?  b) Đường thẳng   AD   song song với những mặt phẳng nào?  c) Đường thẳng   AC   vuông góc với những mặt phẳng nào?  d) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng song song với nhau.  e) Trong hình lăng trụ đó hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.     Hướng dẫn:   Sử dụng định nghĩa và tính chất của hình lăng trụ đứng.     Giải  a) Đường thẳng   BD   và   1 A C   không cắt nhau, bởi nếu chúng cắt nhau thì 4   1   cùng thuộc một mặt phẳng            1   1 D   D A   BC   A   ABC             , mâu thuẫn  b) Ta có:            1   1   1   1   1   1   1   1   1   1 / /   / / AD   A D   A B C D   AD   A B C D       .

Chuyên đề hình lăng trụ đứng

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH CHÓP  HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG  HÌNH HỘP CHỮ NHẬT  A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN  1. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT  Hình hộp chữ nhật   là hình có 6 mặt đều là hình chữ nhật.  Hình bên cho ta hình ảnh của hình hộp chữ nhật  1   1   1   1 . ABCD A B C D   , và ở đó:  1. Hình hộp chữ nhật có:     8 đỉnh, cụ thể:  A   ,   B   ,   C   ,   D   ,   1 A   ,   1 B   ,   1 C   ,   1 D   .     12 cạnh, cụ thể:  AB   ,   BC   ,   CD   ,   DA   ,   1   1 A B   ,   1   1 B C   ,   1   1 C D   ,   1   1 D A   -   Cách cạnh đáy  1 AA   ,   1 BB   ,   1 CC   ,   1 DD   - Các cạnh bên     6 mặt (đều là hình chữ nhật), cụ thể:  ABCD   ,   1   1   1   1 A B C D   ,   1   1 ABB A   ,   1   1 BCC B   ,   1   1 CDD C   ,   1   1 ADD A   .  2. Hai mặt của hình hộp chữ nhật không có cạnh chung gọi là   hai mặt đối diện   và có thể xem  chúng là   hai mặt đáy   của hình hộp chữ nhật, khi đó các mặt còn lại được xem là các   mặt bên,   cụ  thể:     Hai mặt   ABCD   ,   1   1   1   1 A B C D        Bốn mặt   1   1 ABB A   ,   1   1 BCC B   ,   1   1 CDD C   ,   1   1 ADD A     3.   Hình lập phương   là hình có 6 mặt đều là những hình vuông.     Nhận xét:   Như vậy, khi cho hình hộp chữ nhật với ba kích thước   a, b, c   chúng ta cần hiểu  rằng khi đó ta có:   AB   a    ,   BC   b    ,   1 AA   c    .  2. MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG  Ví dụ 1:   Hãy kể tên những cạnh bằng nhau của hình hộp chữ nhật   . ABCD MNPQ   .   Giải  Ta có:  ; AB   CD   PQ   MN         ; AM   BN   CP   DQ         AD   BC   NP   MQ          .  3. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN  Ví dụ 2:   Quan sát hình hộp chữ nhật ở hình 75:  - Hãy kể tên các mặt phẳng của hình hộp.  -   BB    và   AA    có cùng nằm trong một mặt phẳng hay không?  -   BB    và   AA    có điểm chung hay không?     Giải  Ta lần lượt có:  - Các mặt phẳng của hình hộp là:  ABCD   ,   A B C D             ,   ABB A    ,   BCC B    ,   CDD C       ,   ADD A    .  -   BB    và   AA    cùng nằm trong mặt phẳng   ABB A    .  -   BB    và   AA    không có điểm chung, bởi   ABB A    là hình chữ nhật nên   BB    và   AA    song song  với nhau.     Tổng kết:   Ta có:  1. Trong không gian, hai đường thẳng a và b gọi là song song với nhau nếu chúng cùng nằm  trong một mặt phẳng và không có điểm chung.  2. Hai đường thẳng phân biệt, cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với  nhau.  3. Trong không gian, hai đường thẳng a và b có thể là:  a. Cắt nhau, ví dụ như   AB   và   D B    .  b. Song song với nhau, ví dụ như   BB    và   AA    .  c. Không cùng nằm trong một mặt phẳng nào, ví dụ như   BB    và   CD   .  4. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.

Chuyên đề hình hộp chữ nhật

Trang 1  HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HỌC KÌ II  NĂM HỌC 2020 – 2021  MÔN TOÁN – LỚP 8  I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  Chủ đề   Nội dung  Phương trình   - Phương trình tương đương  - Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn  - Hai quy tắc biến đổi phương trình  - Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình đưa được  về dạng bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa    - Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối  Bất phương trình   - Tập nghiệm của bất phương trình  - Bất phương trình tương đương  - Định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn  - Hai quy tắc biến đổi bất phương trình  - Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn, bất phương trình    Giải bài toán bằng cách lập  phương trình  - Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình  - Các dạng toán giải bằng cách lập phương trình: chuyển động,  năng suất, số và chữ số, phần trăm, hình học.  Bất đẳng thức   - Mối liên hệ giữa thứ tự và phép tính (phép cộng, phép nhân)  - Chứng minh bất đẳng thức  - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất    Tính chất đường phân giác  - Định lí Ta-lét, định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét  - Tính chất đường phân giác của tam giác  Tam giác đồng dạng   - Khái niệm hai tam giác đồng dạng  - Các trường hợp đồng dạng của tam giác, tam giác vuông  Hình học không gian   - Khái niệm hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ    - Các công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần,  thể tích của hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình lăng trụ  Trang 2  II. BÀI TẬP MINH HỌA  Phần 1. Bài tập trắc nghiệm  Câu 1.   Nghiệm của phương trình   2x   3   5       là:  A.   x   4    ;   B.   x   4    ;   C.   x   10    ;   D.   x   1    .  Câu 2.   Tập nghiệm của phương trình   2x   1   1  x   2          là:  A.       S   2;   3       ;   B.       S   2    ;   C.       S   3       ;   D.       S   1    .  Câu 3.   Phương trình nào trong các phương trình sau có điều kiện xác định là   x   2    ?  A.   x   2   1   0  x   2             ;   B.   1   1   0  x   2           ;   C.   2   1   0  x           ;   D.   1   1   0  x   2           .  Câu 4.      1   2   0  1   x           là:  A.   x   1    ;   B.   x   1    ;   C.   x   1    ;   D.   x   1    .   x   2    .  Câu 5.   Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?  A.   2x   1   0       ;   B.   2  x   0    ;   C.   0x   2   0       ;   D.   1   2   0  x         .  Câu 6.   Phương trình nào sau đây có nghiệm   x   2    ?  A.   2x   1   x   1          ;   B.   2x   1   x   3          ;   C.   2x   1   x   3          ;   D.   2x   1   x   3          .  Câu 7.   Phương trình   x   6   5x   12          tương đương với phương trình:  A.   x   5x   6   12          ;   B.   x   5x   6   12          ;   C.   x   5x   6   12          ;   D.   x   5x   6   12          .  Câu 8.   Tập nghiệm của phương trình           x   1   x   2   0          là:  A.       S   2;   1          ;   B.       S   1;2    ;   C.       S   1;2       ;   D.       S   2;1       .  Câu 9.   Tập nghiệm của phương trình             x 2x   5   x x   1          là:  A.       S   0;   1       ;   B.       S   6    ;   C.       S   0;6    ;   D.       S   0    .  Câu 10.   Nếu   x   5   15       thì:  A.   x   10    ;   B.   x   10    ;   C.   x   20    ;   D.   x   20    .  Câu 11.   Với   x   y    , ta có:  A.   2x   2y       ;   B.   3x   3y    ;   C.   4x   1   4y   1          ;   D.   5x   3   5y   3          .  Câu 12.   Bất phương trình   5(x   1)   4(x   3)          có nghiệm là:  A.   x   7    ;   B.   x   2    ;   C.   x   1    ;   D.   x   17    .  Câu 13.   Cho   ABC    có   AB   6cm, AC   5cm       và AD là đường phân giác. Tỉ số   BD  CD   bằng:  A.   1;   B.   6  11   ;   C.   6  5   ;   D.   5  6   .

Hướng dẫn ôn tập học kì 2 Toán 8 năm 2020 – 2021 trường Vinschool – Hà Nội

 Y BAN NHÂN DÂN QUÂN LONG BIÊN  TRƯ  NG THCS CHU VĂN AN  -------- // ------      CƯƠNG ÔN T  P GI  A H  C KÌ I  MÔN: TOÁN L  P 8  Năm h  c: 2021   -   2022  I/ TR  NG TÂM   KI  N TH  C  A.     I S   1.   Nhân, chia đa th  c.  2.   H  ng đ  ng th  c.  3.   Phân tích đa th  c thành nhân t  .  B.   HÌNH   H  C  1.   T    giác, hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình ch    nh  t.  2.     ng trung bình c  a tam giác, đư  ng trung bình c  a hình thang .  II. BÀI T  P T    LU  N  A. Đ  I S   Bài 1 : Th  c hi  n phép tính: (   ) 2  ) 3x   5   7 a   x   x    + (   ) 3  ) -2xy 2   5   1 b   x   x +    (   ) (   ) 2  )   4   6   5 c   x   x   x +      +   + (   )(   ) 2   2  )   1   2   3   4 d   x   x   x       + (   )(   ) )   2   2 e   x   y   x   y +    (   )   (   ) 2   2  )   3   1   7   2 h   x   x       + (   ) 2   5   3   3   2  )   6   4   : 2 g   x y   xy   x y   xy    + (   ) 3   4   2  )   12   6   18   : 6 f   x y   xy   xy   xy    +    (   )   (   ) 3   2  )   3   5   6 :   2 i   x   x   x   x    +        j) (   )   (   ) 3   2  6   2   9   3 : 3   1 x   x   x   x       +     k) (   ) (   ) 3   2   2  6   3   4   2 : 3   2 x   x   x   x +   +   +   +   l) (   ) (   ) 5   3   2   3  4   3   5   15 :   3 x   x   x   x   x   x +   +      +      +  Bài 2 :   Ch  ng minh r  ng giá tr    c  a các bi  u th  c sau không ph    thu  c vào giá tr    c  a bi  n:  a) (   )(   )   (   ) 2  5   2   1   2   3   3   7 x   x   x   x   x    +         +   +   b) (   )(   )   (   )(   ) 3   1   2   3   5   6   1   38 x   x   x   x   x    +              c) (   )(   )   (   )(   )   (   ) 5   2   1   3   5   1   17   2 x   x   x   x   x    +         +         d) (   ) (   ) 2   2   3  2   2   4   5 x   y   x   xy   y   x    +   +   +   +  e) (   )(   )   (   )(   ) 5   8   4   1 y   y   y   y    +      +      f) (   )   (   )   (   ) 2   2  5   3   1   6   10   3 x   x   x   x   x x   x   x          +         +  Bài 3:   Tìm x, bi  t: (   )(   ) )   5   2   1   0 a   x   x +   +   = (   )   (   ) b) x   2   3   2   0 x   x +      +   = (   )   (   ) ) 2x   5   3   2   26 c   x   x   x       +   = 2  ) x   8   16   0 d   x    +   = 2  ) x   10   25 e   x    = − (   ) ) 5x   1   1 f   x   x    =   (   )   2  ) 2   5   5   0 g   x   x   x +         = 2  ) x   5   6   0 h   x +      = i) 3   2  5   8   4   0 x   x   x    +      = (   )   (   )(   )  2  )   2   3   4   1   1   49 i   x   x   x +      +      = 3   2  ) x   1   0 j   x   x +   +   +   = 3   2   2  ) x   4   8   4 k   x   x   x    =      +  m) 3   2  2   3   6   0 x   x   x    +   +   =   .   n) 2   2  (   )(   1)   6 x   x   x   x +   +   +   =   .  o) 2   2   2  (   4 )   8(   4 )   15   0 x   x   x   x          +   =   .   p ) (   )   (   ) (   )   (   )  3   2  1   2   4   2   3   2   17 x   x   x   x   x x    +      +   +   +   +   =   .  b) (   )   (   ) (   )   (   )  3   2 2  2   3   3   9   6   1   15 x   x   x   x   x          +   +   +   +   =   .  Bài   4 :   Phân tích các đa th  c sau thành nhân t  : 2   2  ) 5   15   30 a   x z   xyz   xz    + (   )(   ) 2  ) x   9   3   5   2 b   x   x           2   2   2  ) x   2 c   xy   y   z    +    (   )   (   ) ) 5x   1   3   1 d   x   x        2  ) x   4   3 e   x +   + 3   2   2   3  ) x   3   3 f   x   x y   xy   y   y    +   +   +    2   2  ) x g   x   y   y        2  ) 16 x   5x   3 h       3  ) x   4 i   x  2  ) 2x   6 j   x  3   2  ) x   3   4   12 k   x   x       + 2   2  ) x   5   5 l   y   x   y       +  m) (   ) 2 2   2  4   4   12 x   x   x   x +   +   +      .   n) (   )(   )(   ) 1   2   3   1 x x   x   x +   +   +   +   .  o) 4   1024 x   +   p) (   )(   )(   )(   ) 2   3   4   5   24 x   x   x   x +   +   +   +      .  Bài   5 : Tính giá tr    c  a các bi  u th  c sau:  a) 3   2  9   27   27 x   x   x    +      v  i   x = 13  b) 2  9   42   49 x   x +   +   v  i   x = 1  c) (   ) (   )   (   ) 2   2  1   2   4   3 x   x   x   x   x +   +   +      +   v  i 10 3     .  d) (   )   (   )   (   ) 2 3 4   1   12   3   :   3   2   1 4   x   x   x   x   x         +                       v  i 3 x   =   .  e) (   )   (   )(   )   (   )  2  3   8   3   3   3 B   x   x   x   x x =         +      +      t  i 103 x   =   .  f) Cho x   , y   là 2 s    khác nhau sao cho: 2   2  x   y   y   x    =      . Tính giá tr    c  a bi  u th  c. 2   2  2   3   3 A   x   xy   y   x   y =   +   +        .  Bài   6 :   Tìm giá tr    nh    nh  t (ho  c l  n nh  t) c  a các bi  u th  c sau:

Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 8 năm 2021 – 2022 trường THCS Chu Văn An – Hà Nội

THẦY VÕ HOÀNG NGHĨA - CÔ NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN                                       A   +   B C   =   A C   +   B C  (với   C   6   = 0 )  A  B   C  O  D  E  F   H  N  M  I  K  G  TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP   8  TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ  NĂM HỌC 2021-2022MỤC LỤC  I      1  CHƯƠNG 1.   PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC   2   1 –   NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC      NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC   2  A A   Tóm tắt lí thuyết   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  B B   Bài tập áp dụng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  |   Dạng 1. Nhân đơn thức với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  |   Dạng 2. Nhân đa thức với đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   2  |   Dạng 3. Chứng minh biểu thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3  |   Dạng 4. Tìm   x   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4   2 –   NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ   5  A A   Tóm tắt lí thuyết   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5  B B   Bài tập áp dụng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5   3 –   PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ   7  A A   Tóm tắt lí thuyết   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7  B B   Bài tập áp dụng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7  |   Dạng 1. Phương pháp đặt nhân tử chung   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7  |   Dạng 2. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   7  |   Dạng 3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   8  |   Dạng 4. Một số phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   9  |   Dạng 5. Tổng hợp   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10   4 –   PHÉP CHIA ĐƠN THỨC - PHÉP CHIA ĐA THỨC   11  A A   Tóm tắt lí thuyết   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   11  B B   Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   11  |   Dạng 1. Chia đơn thức cho đơn thức. Chia đa thức cho đơn thức   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   11  |   Dạng 2. Chia đa thức cho đa thức   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   12  |   Dạng 3. Tìm đa thức bằng phương pháp hệ số bất định   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13   5 –      14   6 –   MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN NÂNG CAO   16  M      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   16        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17  M      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17  i / 99   p   Võ Hoàng Nghĩa - Nguyễn Thị Hồng Loan         0986453782

Phân dạng và bài tập Toán 8

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8  Biên soạn: Trần Đình Hoàng   0814000158   1  CHUYÊN ĐỀ: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG, TA-LÉT VÀ LIÊN QUAN  MỤC LỤC  Chủ đề 1: ĐỊNH LÝ TALET TRONG TAM GIÁC ....................................................................................... 2  Chủ đề 2. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC ............................................................ 16  Chủ đề 3. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC............................................................. 26  Chủ đề 4. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG ............................................. 42  Chủ đề 5. ĐỊNH LÝ MENELAUS, ĐỊNH LÝ CE-VA, ĐỊNH LÝ VAN-OBEN ........................................ 53  A. Kiến thức cần nhớ ................................................................................................................................. 53 B. Bài tập vận dụng ................................................................................................................................... 57  PHẦN II. TỔNG HỢP VÀ MỞ RỘNG ....................................................................................................... 70  I.   Kiến thức mở rộng ............................................................................................................................. 70 II.   Một số ví dụ ....................................................................................................................................... 70  BÀI TẬP TỔNG HỢP .................................................................................................................................. 75Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8  Biên soạn: Trần Đình Hoàng   0814000158   2  Chủ đề 1: ĐỊNH LÝ TALET TRONG TAM GIÁC  Bài 1.   Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Từ một điểm E trên cạnh BC ta kẻ đường thẳng Ex song song với AM và cắt tia CA, BA lần lượt tại F và G. Chứng minh:   EF   EG   2.AM .         Tìm cách giải.  - Để chứng minh   EF   EG   2.AM       , suy luận thông thường là dựng đoạn thẳng trên tia EF, EG bằng đoạn thẳng AM, rồi biến đổi cộng trừ đoạn thẳng. Chẳng hạn trong ví dụ này, qua A kẻ  chứng minh GI = IF là xong. Tuy nhiên để chứng minh GI = IF bằng cách ghép vào hai tam giác bằng nhau là khó khăn, chính vì vậy chúng ta chứng minh tỉ số bằng nhau có cùng mẫu số. Quan sát kỹ nhận thấy GI và IF có thể đặt trên mẫu số là IE! Từ đó vận dụng định lý và hệ quả Ta-let để chứng minh   FI   IG  IE   IE     là xong. - Ngoài cách trên, chúng ta có thể biến đổi kết luận thành tổng tỉ số và chứng minh  FF   EG   2 AM   AM        là xong. Do đó vận dụng định lý Ta-lét và biến đổi linh hoạt tỷ lệ thức là yêu cầu tất yếu trong dạng toán này.     Trình bày lời giải Cách 1.   Giả sử E thuộc đoạn BM. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại I. Ta có AMEI là hình bình hành, suy ra EI = AM.       có AI // CE,   AM//EF   1  IF   FA   EM IE   AC   MC          Xét   GEB    có AI // BE, AM // GE      2  IG   AG   EM IE   AB   BM          Từ (1) và (2), kết hợp với BM = MC Suy ra IG = IF. Ta có:   EF   EG   EI   IF+EI - IG=2.EI=2.AM         Cách 2.   Giả sử E thuộc đoạn BM. Theo hệ quả định lý Ta-lét: Xét      có        EF   EC EF//AM   3 AM   CM       Xét      có        EG   BE EG//AM   4 AM   BM       Cộng vế theo vế (3) và (4) ta có:  EF   EG   EC   BE  AM   AM   CM   BM           hay   EF   EG   BC   2. AM   BM          Suy ra   EF   EG   2.AM .      G I F M B   C A E G F M A C B   E  Bài 2.   Cho hình thang ABCD (AB//CD). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = CD. Gọi giao điểm của AC với DB và DE theo thứ tự là I và K. Chứng minh hệ thức   AK   AC   .  KC   CI  

Chuyên đề tam giác đồng dạng, Ta-lét và liên quan bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8  Biên soạn: Trần Đình Hoàng   0814000158   1  CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC  MỤC LỤC  CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC ......................................................................................................................... 2  Dạng 1.   Tính số đo góc của tứ giác ............................................................................................. 2  Dạng 2.   So sánh các độ dài đoạn thẳng ......................................................................................5  CHỦ ĐỀ 2: HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN ..........................................................................11  Dạng 1.   Bài tập về hình thang ...................................................................................................11  Dạng 2.   Bài tập về hình thang cân ............................................................................................13  CHỦ ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG ................................ 20  Dạng 1.   Bài tập về đường trung bình của tam giác. ................................................................. 20  Dạng 2.   Bài tập về đường trung bình của hình thang ...............................................................26  CHỦ ĐỀ 3: HÌNH BÌNH HÀNH .......................................................................................................29  Dạng 1.   Bài tập vận dụng tính chất hình bình hành ..................................................................29  Dạng 2.   Nhận biết hình bình hành.............................................................................................33  Dạng 3.   Dựng hình bình hành ................................................................................................... 34  CHỦ ĐỀ 3: HÌNH CHỮ NHẬT ........................................................................................................35  Dạng 1.   Bài tập vận dụng tính chất và dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật ................................ 35  Dạng 2.   Tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông .......................................................39  Dạng 3.     CHỦ ĐỀ 6: HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG ...................................................................................43  Dạng 1.   Bài tập vận dụng tính chất và dấu hiệu nhận biết hình thoi ........................................43  Dạng 2.   Bài tập vận dụng tính chất và dấu hiệu nhận biết hình vuông .................................... 45  CHỦ ĐỀ 7: ĐỐI XỨNG TRỤC – ĐỐI XỨNG TÂM ........................................................................50  Dạng 1.   Bài tập vận dụng đối xứng trục ...................................................................................50  Dạng 2.   Bài tập vận dụng đối xứng tâm ....................................................................................53  Chủ đề 8.HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN TRONG CHƯƠNG TỨ GIÁC .............................................55  A.   Kiến thức cần nhớ ................................................................................................................ 55  B.   Bài tập vận dụng ..................................................................................................................56  CHỦ ĐỀ 8: TOÁN QUỸ TÍCH .........................................................................................................65  A.   Kiến thức cần nhớ ................................................................................................................ 65  B.   Bài tập áp dụng ....................................................................................................................65Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8  Biên soạn: Trần Đình Hoàng   0814000158   2  CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC  Dạng 1.   Tính số đo góc của tứ giác     Phương pháp:   Vân dụng định lý tổng 4 góc của tứ giác, tính chất góc ngoài của tam giác, hai góc bù nhau, phụ nhau     Bài tập vận dụng: Bài 1.1   Cho tứ giác ABCD,         40 A   B          . Các tia phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại O. Cho biết      110 COD         . Chứng minh rằng   AB   BC    .     Tìm cách giải  Muốn chứng minh   AB   BC    ta chứng minh      90 B         .        A   B    nên cần tính tổng       A   B    .     Lời giải:  Xét   COD    có                      2   2  180   180   2  C   D  COD   C   D                   (vì        1   2  C   C    ;        1   2  D   D    ). Xét tứ giác ABCD có:                  360 C   D   A   B             , do đó  1 2 2 1  A  O D   C B                    360 180   180   180 2   2  A   B   A   B COD                        Vậy           2  A   B  COD        . Theo đề bài      110 COD         nên         220 A   B          . Mặt khác,         40 A   B          nên          220   40   : 2   90 B                  . Do đó   AB   BC    .  Bài 1.2   Cho tứ giác ABCD có         220 A   B          . Các tia phân giác ngoài tại đỉnh C và D cắt nhau tại K. Tính số đo của góc CKD.  Lời giải:  Xét tứ giác ABCD có:                  0  360           A   B   C   D                                 0   0   0  180   180   360                       CDx   DCy   D   C   C   D  Suy ra:               220 CDx   DCy   A   B                     110 .  2  CDx   CDy           Do đó        2   2   110 D   C          . Xét   CKD    có:               2   2 180   180   110   70 CKD   D   C                     1   1 2 2  x   y  B  M  D   C A  Bài 1.3   Tứ giác ABCD có       A   C    . Chứng minh rằng các đường phân giác của góc B và góc D song song với nhau hoặc trùng nhau.  Lời giải:  Xét tứ giác ABCD có:                     360   360   2 B   D   A   C   C                   . Vì        1   2 B   B    ,        1   2 D   D    nên                    1   1   1   1 180   180 B   D   C   B   D   C                         . (1) Xét   BCM    có           1   1   180 B   M   C             . (2)  1 2 2 1  N  M  B  D   C A

Chuyên đề các bài toán về tứ giác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 Biên soạn: Trần Đình Hoàng   0814000158   1  CHUYÊN ĐỀ : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ  MỤC LỤC  1.   Phương pháp đặt nhân tử chung ................................................................................................... 2  2.   Phương pháp dùng hằng đẳng thức .............................................................................................. 2  3.   Phương pháp nhóm hạng tử:.........................................................................................................4  4.   Phối hợp nhiều phương pháp ........................................................................................................ 6  5.   Phương pháp tách hạng tử ..........................................................................................................11  Dạng 1.   Phân tích đa thức thành nhân tử của đa thức bậc hai .................................................11  Dạng 2.   Phân tích đa thức thành nhân tử của đa thức bậc ba ..................................................11  Dạng 3.   Phân tích đa thức thành nhân tử của đa thức bậc bốn ................................................ 13  Dạng 4.   Phân tích đa thức thành nhân tử của đa thức bậc cao ................................................ 15  6.   Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. ................................................................................. 16  7.   Phương pháp đổi biến số (hay đặt ẩn phụ) ................................................................................ 18  Dạng 1.    2   + ax + m)(x 2   + ax + n) +p ............................................................... 18  Dạng 2.     Dạng 3.    4   + (x + b) 4   + c .................................................................. 21  Dạng 4.     Dạng 5.     8.   Phương pháp hệ số bất định .......................................................................................................25  9.   Phương pháp tìm nghiệm của đa thức: .......................................................................................30  10.   Phương pháp xét giá trị riêng: ....................................................................................................32Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 Biên soạn: Trần Đình Hoàng   0814000158   2  Các phương pháp cơ bản 1. Phương pháp đặt nhân tử chung a. Phương pháp  - Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. - Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác - Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ).  b. Bài tập vận dụng Bài 1.   Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:  a)   n   1   n   4 5   5 5          b)             2   6 n   n   1   2n n   1            c)   n   1   n  24   24   23          d)   2  n (n   1)   2n(n   1)   6            Bài 2.   Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau:  a) x + y = xy   b) xy – x + 2(y – 1) = 13  HD:  a) Ta có   x   y   xy          0. xy   x   y        Do đó suy ra:             1   1   1           x   y   y   hay           1   1   1        y   x  Mà             1   1.1   1 .   1             nên:   1   1  1   1  y x                hoặc   1   1  1   1  y x                Do đó   2  2  x y          hoặc   0   .  0  x y          Vậy ta có hai cặp số nguyên cần tìm là       0, 0   và       2, 2 . b) Phân tích vế trái ra thừa số ta có:                            2   1   1   2   1   1   2 . xy   x   y   x   y   y   y   x                              Vế phải bằng                         13   1.13   13.1   1 .   13   13 .   1                         nên ta lần lượt có:  1   1   1   13   1   1   1   13  ;   ;   ; 2   13   2   1   2   13   2   1  y   y   y   y x   x   x   x                                                                             Hay:   11   1   15   3  ;   ;   ;   .  2   14   0   12  x   x   x   x y   y   y   y                                                     Vậy ta có 4 cặp số nguyên cần tìm là:                         11, 2 ;   1;14 ;   15; 0 ;   3;   12 .            2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức a) Phương pháp:   Sử dụng 7 HĐT đã học và một số HĐT bổ sung sau đây:  1.                    2   2 2   2  2   a   b   a   b   a   b                2.             2 4   4   2 a   b   a   b   a   b   a   b   ab                          3.              2 2   2 4   4   2   2 a   b   a   b   ab   ab                        4.             4   2   2   4   2   2   2   2  a   a b   b   a   ab   b   a   ab   b                     5.       2   2   2   2  a   b   c   a   b   c   2ab   2ac   2bc                         6.             4   2   2   2  1   1   1 a   a   a   a   a   a                     b) Bài tập vận dụng: Bài 1.   Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 Biên soạn: Trần Đình Hoàng   0814000158 1  CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ  MỤC LỤC  Chủ đề 1 .   CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LÀ SỐ TỐI GIẢN ..................................................2  Chủ đề 2 .   TÍNH GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ ...................................................................3  Dạng 1.   Tính giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước của biến. .....................................3  Dạng 2.   Tính giá trị biểu thức số bằng cách biến đổi từ công thức tổng quát..........................17  Chủ đề 3 .   RÚT GỌN BIỂU THỨC................................................................................................ 19  Dạng 1.   Rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng tính chất cơ bản của phân thức .......................19  Dạng 2.   Rút gọn biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước của biến. .........................................22  Dạng 3.   Rút gọn các biểu thức có tính quy luật ........................................................................26  Chủ đề 4 .   CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ ....................................29  Dạng 1.   Biến đổi vế này thành vế kia ........................................................................................29  Dạng 2.   Biến đổi cả hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba ...........................................................31  Dạng 3.   Từ điều kiện tạo ra thành phần một vế ........................................................................33  Dạng 4.   Phương pháp biến đổi tương đương ............................................................................40  Dạng 5.   Phương pháp đổi biến số .............................................................................................41  Dạng 6.   Phân tích đi lên từ kết luận ..........................................................................................43  Dạng 7.   Phương pháp tách hạng tử...........................................................................................44  Chủ đề 5 .   BÀI TOÁN TỔNG HỢP ................................................................................................ 45Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 Biên soạn: Trần Đình Hoàng   0814000158 2  Chủ đề 1.   CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LÀ SỐ TỐI GIẢN     Phương pháp:     1  - Một số tính chất cần sử dụng khi chứng minh: + Nếu nếu d = ƯCLN(a; b) thì   a d    và   b d    , khi đó ta có:       a   b   d     + Nếu   a d    thì k.a      d và   n  a   d      Bài tập áp dụng Bài 1.   Chứng minh với mọi số nguyên n thì phân số  3 4   2  n   2n  n   3n   1         là phân số tối giản.  HD:     1  Gọi d là ước chung của   3  n   2n    và   4   2  n   3n   1       . Ta có:       3   3   4   2  n   2n   d   n n   2n   d   n   2n   d                       (1)            2 4   2   4   2   2   2   4   2  n   3n   1   n   2n   n   1   d   n   1   n   2n   1   d                                      (2) Từ (1) và (2) suy ra:             4   2   4   2  n   2n   1   n   2n   d   1   d   d   1                         Vậy  3 4   2  n   2n  n   3n   1         là phân số tối giản  Bài 2.   Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì:  a)   n n   n        3 5  1  1   là phân số không tối giản.   b)   6n   1  8n   1       là phân số tối giản.  HD: a)   Ta có                                               2   2   2 5   2   2   2   3   2   3   2   2  n   1   n   n   1   n   1   n   n   1   n   1   n   n   1 n   n   n   n   1   n   n   1   n   n   1   n   n   1   n   n   1                                                                  vì với số nguyên dương n thì   2  n   n   1   1          nên  3 5  n   1  n   n   1         là phân số không tối giản.  b)          6n   1; 8n   1   d          với   *  d   N              6n   1 d   24n   4 d 8n   1 d   24n   3 d 24n   4   24n   3   d   1 d   d   1.                                                                6n   1; 8n   1   1             Phân số đã cho là phân số tối giản.  Bài 3.   Cho          2   4  5  n P   n   với n là số tự nhiên. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên n trong khoảng từ 1   HD:  Ta có:  2  n   4   29  P   n   5 n   5   n   5                   với   n                    29; n   5   d   d   1        Khi đó   n   5   d       và   29   d   d   29   n   5   29               Hay       n   5   29k k   N   n   29k   5                  

Chuyên đề các bài toán về phân thức đại số bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Chương II I  PHƯƠNG TRÌNH B  C NH  T  BÀI 1. M     U V    PHƯƠNG TRÌNH  BÀI 2. PHƯƠNG T RÌNH B  C NH  T M  T    N VÀ CÁCH GI  I A. TÓM T  T LÍ THUY  T  1. * M  n   x   luôn có d  ng   ( )   (   ), A x   B y =   trong đó vế   trái   ( ) A x   và v    ph  i là ( ) B x   là hai bi  u th  c c  a cùng m  t bi  n   x   . * Gía tr    0 x   c  a    n   x      0   0 (   )   (   ) A x   B x =    c g  i là nghi  m. 2. * T  p h  p t  t c    các nghi  m c  i là t  p nghi  m c   * Gi  p nghi  m c  * Hai phương trình có cùng mộ t t  p nghi   3. T    m  c chuy  n v    hay quy t  c m   trình m   4. Nghi  m duy nh  t c    0 (a   0) a x   b +   =      là   .  b x   a   =  B. CÁC D  NG TOÁN D  ng 1. XÉT XEM   x   a =   CÓ LÀ NGHI  M C   Phương pháp giả i  * Nghi  m c    ( )   ( ) A x   B x =   là giá tr    c  a   x   mà khi thay vào phương trình, giá  tr    tương ứ ng c  a hai v    b  ng nhau. * Mu  n xem s    a   có ph  i là nghi  m c    x   a =   vào hai v   c  c là tính   (a) A   và   (a). B N  u hai v    c  ng nhau, t  c là   ( )   ( ) A a   B a =   thì   x   a =   là nghi  m c   trình. Còn n  u   (a)   (a) A   B    thì   x   a =   không là nghi  m c   Ví d    1.   (Bài 1, SGK trang 6) V  i m    1 x   = −   có là nghi  m c  a nó không : a)   4   1   3   2 x   x    =      ;   b)   1   2(x   3) x   +   =      ; c)   2(   1)   3   2 x   x +   +   =      .  Gi  i  a) V  i   1 x   = −   : V    trái có giá tr    :   4.( 1)   1   5       = − V    ph  i có giá tr    :   3.( 1)   2   5       =   . V  y   1 x   = −   là nghi  m c    4   1   3   2 x   x    =      . b) V  i   1 x   = −   : V    trái có giá tr    :   ( 1)   1   0    +   =V    ph  i có giá tr    :   2.( 1   3)   2.( 4)   8    =      = −   . V  y   1 x   = −   không là nghi  m c    1   2(x   3) x   +   =      . c) V  i   1 x   = −   : V    trái có giá tr    :   2.( 1   1)   3   3    +   = V    ph  i có giá tr    : 2   ( 1)   3    =   . V  y   1 x   = −   là nghi  m c    2(   1)   3   2 x   x +   +   =      .  Ví d    2.   (Bài 2 trang 6 SGK) Trong các giá tr    1;   0;   1 t   t   t = −   =   =   giá tr    nào là nghi  m c   2 (t   2)   3   4? t +   =   +  Gi  i  - Thay   1 t   = −   vào phương trình đượ c : 2   2 ( 1   2)   3( 1)   4   1   1    =      +      =   : đúng.  V  y   1 t   = −   là nghi  m c   - Thay   0 t   =   vào phương trình đượ c : 2   2 (0   2)   3.0   4   2   4 +   =   +      =   : đúng.  V  y   0 t   =   là nghi  m c   - Thay   1 t   =   vào phương trình đượ c : 2   2 (1   2)   3.1   4   3   7 +   =   +      =   : sai. V  y   1 t   =   không là nghi  m c   Ví d    3.   (Bài 3 trang 6 SGK)  Xét phương trình   1   1 x   x +   =   +   . Ta th  y m  i s    th  u là nghi  m c  a nó. Hãy cho bi  t t  p nghi  m c    ?  Gi  i  Phương trình   1   1 x   x +   =   +   nghi  i m  i   (x   ) x         nên t  p nghi  m c   trình là   S   =      .  Ví d    4.   (Bài 4, trang 7 SGK) N  i m  i các nghi  m c  a nó (theo m  u) :

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phương trình bậc nhất một ẩn

Chương II  DIỆN TÍCH ĐA GIÁC  U  A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT  1.        1   2   ...   n A A   A   là hình gồ m   n    n th    1   2   2   3   1 ,   ,...,   n A A   A A   A A   trong đó bất kì đoạ n th  m trên m    t n  t ph    là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.  Chú ý.   T    nay khi nói đến đa giác mà không chú thích gì thêm, ta hi ểu đó là đa giác  l      các cạnh bằng nhau và tất cả   các góc bằng nhau.  Ngũ giác  2.   Tính chấ t  T    n   cạnh bằng   (   )   0 2 .180 n      hay   (   ) 2 .2 n   v    .  M    n   cạnh bằng   (   )   0 2 .180 n n     .  L  u  B. CÁC   D   A  E   B  D   CD  Phương pháp giải  S    d   Ví dụ   1.   Cho ngũ giác   ABCDE   . Kẻ   các đường chéo   , AC AD   . Kể   tên các đa giác có trong hình vẽ.  Giải  Có ba tam giác là   ,   , ABC ACD ADE   .  Có hai tứ   giác là   , ABCD ACDE   .  Có một ngũ giác là   ABCDE   .  D  Phương pháp giải  T    n   cạnh bằng   (   ) 2 .2 n   v    hay   (   )   0 2 .180 n      .  Ví dụ   1.   Ch  nh lí: T       n      giác bằng   (   )   0 2 .180 n      .  Giải  Xét hình   n      1   2   ...   n A A   A   . Kẻ   các đường chéo xuất phát từ   1 A   , ta được   2 n      tam giác (có cạnh đối diện với   A   là:   2   3   3   4   1 ,   ,...,   n   n A A   A A   A   A    ).  T       n      giác bằng tổng số      2 n      tam giác trên. Mỗi tam giác đó có tổng số      0 180   .  V       n      giác bằng   (   )   0 2 .180 n      .  B  A   C  E   D

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập đa giác và diện tích đa giác

2  MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8  Lời nói đầu   1  Ch    H  c   3  Chuyên đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử   19  Chuyên đề   3:   Giá trị   l    nh    nh  c   58 Chuyên đề 4: Phương trình đại số   111  Chuyên đề 5: Đồng nhất thức   131  Chuyên đề 6: Bất đẳng thứ c   157  Chuyên đề 7: Đa thức   175  Chuyên đề 8: Hình họ c   186  Sưu tầ m và t  ng h  p   TÀI LI  U TOÁN H  C3  CHUYÊN ĐỀ   1 : HẲNG ĐẲNG THỨ C  A. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN  1.   2   2   2   2   2   2 (   )   2   2   4   (   )   4 a   b   a   ab   b   a   ab   b   ab   a   b   ab +   =   +   +   =      +   +   =      +  2.   2   2   2   2   2   2 (   )   2   2   4   (   )   4 a   b   a   ab   b   a   ab   b   ab   a   b   ab    =      +   =   +   +      =   +     3.   2   2   (   )(   ) a   b   a   b   a   b    =      + 4.   3   3   2   2   3   3   3   3   3   3 (   )   3   3   3   (   )   (   )   3   (   ) a   b   a   a b   ab   b   a   b   ab a   b   a   b   a   b   ab a   b +   =   +   +   +   =   +   +   +      +   =   +      +  5.   3   3   2   2   3   3   3   3   3   3 (   )   3   3   3   (   )   (   )   3   (   ) a   b   a   a b   ab   b   a   b   ab a   b   a   b   a   b   ab a   b    =      +      =         +         =      +    6.   3   3   2   2 (   )(   ) a   b   a   b   a   ab   b    =      +   + 7.   3   3   2   2 (   )(   ) a   b   a   b   a   ab   b +   =   +      + Bài 1:  a) Tính   2   2   2   2   2   2 100   99   98   97   ...   2   1 A   =      +      +   +    b) Tính   (   ) 2   2   2   2   2 1   2   3   4   ....   1   .  n B   n = −   +      +      + −  L  i gi  i  a) Ta có:  2   2   2   2   2   2   101.100 100   99   98   97   ...   2   1   (100   99)(100   99)   ...   (2   1)(2   1)   100   ...   1   5050 2  A   =      +      +   +      =      +   +   +      +   =   +   +   =   =  b) Ta xét hai trườ ng h  p - TH1: N  u n ch  n thì  (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) 2 2   2   2   2   2   1 2   1   4   3   ...   1   1   2   3   4   ...   1   2  n n B   n   n   n   n   +     =      +      +   +         =   +   +   +   +   +      +   =     - TH1: N  u n l    thì  (   )   (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) 2   2 2   2   2   2   2   2   1 2   1   4   3   ...   1   2   1   2   3   4   ...   1   2  n n B   n   n   n   n   n   +     =      +      +   +               =   +   +   +   +   +         = −        t qu    trên có th    dùng công th  c:   (   )   (   ) 1 1   .   2  n   n n   +   Bài 2:   So sánh   19999.39999 A   =   và   2 29999 B   =  L  i gi  i  Ta có:   2   2   2 19999.39999   (29999   10000)(29999   10000)   29999   10000   29999   A   B =      +   =      <      <  Bài 3:   Rút g  n các bi  u th  c sau a.   2   64 (2   1)(2   1)...(2   1)   1 A   =   +   +   +   + b.   2   64 (3   1)(3   1)...(3   1)   1 B   =   +   +   +   + c.   2   2   2 (   )   (   )   2(   ) C   a   b   c   a   b   c   a   b =   +   +   +   +         +  Sưu tầ m và t  ng h  p   TÀI LI  U TOÁN H  C

Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Chương I.  T    GIÁC  Bài 1. TỨ   GIÁC  A. TÓM T  T  1. Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kỳ hai   2. Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. (Từ nay khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi). 3. Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°              360 A   B   C   D +   +   +   =     B.   CÁC   D   D  A T    GIÁC  Phương pháp giải  Sử dụng các tính chất về tổng các góc của tứ giác, của tam giác  Ví dụ   1.   (Bài 1 SGK) Tìm x      hình 6 SGK  Giải  a)               360   95   65   360 2   160   360  P   Q   R   S   x   x x  +   +   +   =      +   +   +   =    +   =                 0   0   0   0 2x   360   160   200   x = 100    =      =    b)               0   0   0 360   3   4   2   360   10   360   36 . o M   N   P   Q   x   x   x   x   x   x +   +   +   =      +   +   +   =      =      = a)   b)  Hình 6 SGK  Ví dụ   2:   (Bài 2 SGK)  Góc kề   bù v  a t    giác g  a t    giác  95 0  65 0  x  x   S  R  Q  P  4x 3x  2x   x  Q   P  N Ma)   Tính các góc ngoài củ a t    giác      hình 7a b)   Tính t  a t    giác      hình 7b (t  i m  nh c  a t    giác ch   ch  n m               1   1   1   1   ? A   B   C   D +   +   +   =  c)   Có nhậ n xét gì v    t    giác? a)   b)  Hình 7 SGK  Gi  i  a)   Góc   trong   còn   lạ i   là      (   ) 0   0   0   0   0 360   75   90   120   75 D   =      +   +   =   .   Do               0   0   0   0 1   1   1   1 105 .   90 .   60 .   105 A   B   C   D =   =   =   =   . b)   T                0 360 . A   B   C   D +   +   +   =                (   )     (   )     (   )     (   ) 0   0   0   0 1   1   1   1   180   180   180   180 A   B   C   D   A   B   C   D +   +   +   =      +      +      +                (   ) 0   0   0   0 720   720   360   360 . A   B   C   D =      +   +   +   =      =  c)   T  a m  t t    giác b  ng   0 360   .  D    T    GIÁC  Phương pháp giải  Ví dụ   3:   (Bài 4 SGK) D  a vào cách v    các tam giác đã  h    l  i t    giác      hình 10  SGK vào v  .  Gi  i  V    ABC    bi  t hai c  nh và m  a:     0 2   , BC   4   ,   70 . AB   cm   cm B =   =   = V    ADC    bi  t ba c    D   1,5   : C D   3   . A   cm   cm =   =  D    DÀI. H    TH    DÀI  Phương pháp giải  D  C  B  A   1  1  1  1   75   120   D  C  B  A  1  1  1  1  Thư  ng v    m  t   tam giác có ba đ  nh là ba đ  nh c  a m  t t    giác, sau đó xác đ  nh đ  nh th    4.  70   Hình 10 SGK  4cm  3cm  2cm  1,5cm   D  C B  A

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập tứ giác

CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ CHIA CÁC ĐA THỨ C   C   C  A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT  1.   Mu  n nhân m  c v  i m  c v  i t  ng h  ng t    c   th  c r  i c  ng các tích v   N  u kí hi  c b  i các ch    A, B, C, D, ... thì có th    vi  t g  n quy t  sau:  (   ) .   .   . +   =   + A   B   C   A B   A C  2.   Phép nhân đơn thứ c v    như phép nhân của mộ t s    v  i m  t t  ng và  chú ý đế n d  u c     t d  c “ –     h   (   ) .   .   .   . +      =   +    A   B   C   D   A B   A C   A D  Ví d  :   (   ) 2   2   4   3   2 3   . 4   1   12   3   3    +   =      + x   x   x   x   x   x  3.   Mu  n nhân m  c v  i m  i h  ng t    c  c này v  i t  ng h  ng t    c  i c  ng các tích v   (   )(   ) +   +   =   +   +   + A   B   C   D   AC   AD   BC   BD  4.   Phép nhân hai đa thứ c là t  ng các k  t qu    nhân t  c c  c này v   th  c   kia.  (   )(   )   (   )   (   ) . +   +      =   +      +   +    =   +      +   +     A   B   C   D   E   A   C   D   E   B C   D   E AC   AD   AE   BC   BD   BE  Ví d  :  (   )   (   )   (   )   (   ) 3   3   3 4   2   3 4   3   2 2   1   2   1   2   2   1   1   2   1 2   4   2   2   1 2   4   4   1  +         =         +       =         +       =   +           x   x   x   x x   x   x   x x   x   x   x   x x   x   x   x  B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. LÀM TÍNH NHÂN Phương pháp giải    ng các quy t  c v  c v  c(   ) (   )(   )  .   .   . .  +   =   + +   +   =   +   +   +  A   B   C   A B   A C A   B   C   D   AC   AD   BC   BD  Chú ý các phép tính v    lũy   th   (   ) (   ) 0 .   ; ; 1   0 .  + = = =     n   m   n   m m n   nm a   a   a a   a a   a  Ví dụ   1.   (Bài 1, trang 5 SGK)  Làm tính nhân   :  a)   2   3   1 5   ; 2                   x   x   x   b)   (   ) 2   2 2 3   ; 3     + xy   x   y   x y   c)   (   ) 3   1 4   5   2   .   . 2         +             x   xy   x   xy  Giải    ng quy t  c v   a)   2   3   2   3   2   2   5   3   2 1   1   1 5   .5   .   .   5   ; 2   2   2            =         =                x   x   x   x   x   x   x   x   x   x   x b)   (   ) 2   2   2   2   2   2   3   2   4   2   2 2   2   2   2   2   2 3   3   .   .   .   2   ; 3   3   3   3   3   3     +   =      +   =      + xy   x   y   x y   xy   x y   x   x y   y   x y   x y   x y   x y c)   (   ) 3   4   2   2   2 1   5 4   5   2   .   2   . 2   2         +      = −   +             x   xy   x   xy   x y   x y   x y  Ví dụ   2.   (Bài 7, trang 8 SGK)  Làm tính nhân   :  a)   (   )   (   ) 2   2   1   1 ;    +    x   x   x   b)   (   )   (   ) 3   2 2   1   5   .    +       x   x   x   x  T    câu   b) hãy suy ra kế t qu    c    (   )   (   ) 3   2 2   1   5 x   x   x   x    +   +      .  Giải:  a)Thự c hi  c v   (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) 2   2 2   1   1   1   2   1   1.   1 x   x   x   x   x   x x   x    +      =            +     3   2   2   3   2 2   2   1   3   3   1 x   x   x   x   x   x   x   x =         +   +      =      +     b)   (   )   (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) 3   2   3   2 2   1   5   5   2   5   5   1. 5 x   x   x   x   x   x   x   x   x   x   x    +         =            +           3   4   2   3   2 5   10   2   5   5 x   x   x   x   x   x   x =         +   +         +  4   3   2 7   11   6   5 x   x   x   x = −   +      +      .  Vì   (   ) 5   5 x   x    = −      nên :  (   )   (   )   (   )   (   ) 3   2   3   2 2   1   5   2   1   5 x   x   x   x   x   x   x   x    +         = −      +        (   ) 4   3   2 7   11   6   5 x   x   x   x = − −   +      +   

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép nhân và phép chia đa thức

Chương II  PHÂN THỨC ĐẠI SỐ  BÀI 1. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT  1.Định nghĩa.  Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng     A, B là những đa thức và B khác 0.  A được gọi là tử thức (hay tử); B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).     Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.  2. Hai phân thức bằng nhau.  A   C B   D  =   nếu   AD = BC .  B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. CHỨNG MINH HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU Phương pháp giải     A   C B   D  =   ta chứng minh   AD = BC.  Ví dụ 1.   (Bài 1, trang 36 SGK)  Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau , chứng tỏ   rằng:  5   20 )   7   28  y   xy a   x  =   ;   3 (   5)   3 )   2(   5)   2  x x   x b   x  +   = +   ;  2 2   (   2)(   1) )   1   1  x   x   x c   x   x  +   +   + =       ;  2   2 2   3   2 )   1   1  x   x   x   x d   x   x           + = +      ;  3 2 8 )   2 2   4  x e   x x   x  +   =   +    +   ;  Giải  a) Ta có    5 .28   7.20 y   x   xy   nên   5   20 7   28  y   xy x  =   ;  b) Vì                    2.3   5   3 .2   5 x x   x   x   nên   3 (   5)   3 2(   5)   2  x x   x x  +   = +   ;  c) Ta có                                      2 2   1   2   1   1 x   x   x   x   x   nên   2 2   (   2)(   1) 1   1  x   x   x x   x  +   +   + =       ;d) Ta có:                             2   3   2 2   1   2   2 x   x   x   x   x   x   ;                            2   3   2 1   3   2   2   2 x   x   x   x   x   x   . Do đó                                      2   2 1   3   2   2   1 x   x   x   x   x   x   suy ra:  2   2 2   3   2 1   1  x   x   x   x x   x           + = +    e) Vì                       3   2 8   2   2   4 x   x   x   x   nên  3 2 8   2 2   4  x   x x   x  +   =   +    +   ;  Ví dụ 2.   (Bài 2, trang 36 SGK)  Ba phân thức sau có bằng nhau không:  2 2 2   3 x   x x   x      +   ;   3 x x     ;  2 2 4   3 x   x x   x     +    .  Giải  Ta có:   2   2 2   3   1   2   2   (   1)(   1)   2(   1) x   x   x   x   x   x   x       =            =      +      +  (   1)(   3) x   x =   +      .  2   (   1); x   x   x x +   =   +  2   2 4   3   1   4   4   (   1)(   1)   4(   1) x   x   x   x   x   x   x    +   =         +   =      +        (   1)(   3); x   x =        2   (   1) x   x   x x    =      .  Ba phân thức trở   thành:  (   1)(   3) (   1)  x   x x   x  +    +   ;   3 x x     ;   (   1)(   3) (   1)  x   x x   x         .  Vì   (   1)(   3) x   (   3)(   1) x   x   x   x   x +      =      +   nên   (   1)(   3)   3 (   1)  x   x   x x   x   x  +       = +  Và                                3   1   1   3 x   x   x   x   x   x   nên   3 x x     =   (   1)(   3) (   1)  x   x x   x         ;  Vậy ba phân thức đã cho bằng nhau.  Ví dụ 3.   (Bài 3, trang 36 SGK)  Cho ba đa th ức:   2   4 x   x    ,   2   4, x   +   2   4 x   x +   . Hãy chọn một đa th ức rồi điền vào chỗ   trống trong đẳng thức dưới đây:  2 ... 16   4  x x   x  =      Giải  Ta   có   2   16   (   4)(   4) x   x   x    =      +   .   Gọi   chỗ   trống là đa th                            4   4   4 . A x   x x   x  Vậy                 2 4   4 A   x x   x   x   .  Dạng 2. TÌM GIÁ TR      NH    NH  PHÂN THỨ C  Phương pháp giải

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phân thức đại số

CHUYÊN ĐỀ   PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ  A. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.  I . Các phương pháp   phân tích   cơ bản  1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung  + Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt t rong tất cả các hạng tử.  + Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.  + Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử  vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).  Ví dụ 1.   Phân tích c á   c đa thức   sau thành nhân tử. (   )  2   2   2   2  28a b   21ab   14a b   7ab 4ab   3b   2a    +   =      + (   )   (   )   (   )   (   )   (   )(   )  2x y – z   5y z – y   2 y   z – 5y y   z   y – z   2   5y +   =         =    (   )  (   )  (   )  m   m   3   m   3   m   2  x   x   x   x   1   x   x   1   x – x   1 +  +   =   +   =   +   +  1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức  + Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa   thức thành nhân tử.  + C    n ch    ý     n vi    c v    n d ụ   ng h  ng đ  ng th  c.  Ví dụ.   Phân tích c á   c đa thức sau thành nhân tử. (   )   (   )(   )  2 2   2  9x – 4   3x      3x – 2   3x   2 =   =   + (   )   (   )(   )  3 3   6   3   2   2   2   2   4  8 – 27a b   2 – 3ab   2 – 3ab   4   6ab   9a b =   =   +   + (   )  2 4   2   2   2  25x – 10x y   y   5x – y +   =  1.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử   và phối hợp các phương pháp  + Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.  + Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.  Ví dụ 1.   Phân tích c á   c đa thức sau t hành nhân tử (   )   (   )   (   )   (   )   (   )  (   ) (   )   (   )(   )  3   2   3   2   2   2   2 2 2   2   2  2x      2x – 3   2x   2x – 3x   3   2x x   1 – 3 x   1   x   1   2x – 3 x      y      x – y   4   x – y – 4   x – y   4  +   =   +   +   =   +   +   =   + +   =      =   +  Ví dụ 2 . Phân tích c á   c đa thức sau thành nhân tử(   ) (   )   (   )  (   )   (   ) (   )   (   )   (   )   (   )   (   )(   )  3   2   3   2   2   2   2   2 2   2 2   2   2  3x y – 6x y – 3xy         3xy   3xy x         1 3xy   x      1 – y   2ay   a   3xy   x – 1      a 3xy   x – 1 – y   a   x – 1   y   a   3xy x – 1 – y – a   x – 1   y   a  +   =   +         =   +   +   +   =   +                      =   +   +   +   =   +   +        1.5. Một số ví dụ minh họa  Bài 1 .   Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:  a) 2   2   2   2  5x y   20x y   35xy +      b) 3   3   3   3   4   2   4   5  40a b c x   12a b c – 16a b cx +  c) (   )   (   )  3x x – 2y   6y 2y – x +   d) (   )(   )   (   )(   )  b – 2c   a – b – a   b   2c – b +      Quan sát các đa thức ta nhận thấy có nhân tử chung trong đa thức  thứ nhất và thứ hai. Với hai đa   thức còn lại thì xuất hiện các thừa số đối nhau, như vậy để  có nhân tử chung ta có thể đổi dấu một hạng tử. Do đó để phân tích các đa thức trên thành  nhân tử ta thực hiện các bước như sau.  + Bước 1. Tìm ước chung lớn nhất của các hệ số.  + Bước 2. Tìm các thừa số chung là đơn thức, đa thức trong mỗi hạng tử của đa  thức.  + Bước 3. Tiến hành đưa nhân tử chung bao gồm ước chung lớn nhất của hệ số và  thừa số chung ra ngoài dấu ngoặc.  Lời giải  a) (   )  2   2   2   2  5x y   20x y   35xy   5xy xy   4x – 7y +      =   +  b) (   )  3   3   3   3   4   2   4   5   3   3   2   2  40a b c x   12a b c      4a b c 10c x   3bc – 4ab x +   =   +  c) (   )   (   )   (   )  2 2   2   2   2  3x x – 2y   6y 2y – x   3x – 6xy   12y – 6xy   3x – 12xy   12y   3 x – 2y +   =   +   =   +   =  d) (   )(   )   (   )(   )   (   )(   )   (   )  b – 2c   a – b – a   b   2c – b   b – 2c   a – b   a   b   2a b – 2c +   =   +   +   =  Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.  a) 2   2   2   2  a y   b x – 2abxy +   b) (   )  2  100 – 3x – y  c) 3   3   3  27x – a b   d) (   )   (   )  3   3  a   b    +  e) (   )   (   )  2   2  7x   4      1    +   f) (   )   (   )  2   2  x – y   4      3y   1 +   +     g) 2   2  x – 2xy   y   4 +      h) 2   2   2  x – y – 2yz – z

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG  A. Một số kiến thức cần nhớ  1. Nhắc lại những hằng đẳng thức đáng nhớ  Bình phương của một tổng: (   )   (   )  2   2 2   2  A   B   A   2AB   B   A   B   4AB +   =   +   +   =      +  Bình phương của một hiệu: (   )   (   )   (   )  2   2   2 2   2  A   B   B   A   A   2AB   B   A   B   4AB    =      =      +   =   +     H iệu của hai bình phương: (   )(   )  2   2  A   B   A   B   A   B    =      +  Lập phương của tổng: (   )   (   )  3   3   2   2   3   3   3  A   B   A   3A B   3AB   B   A   B   3AB A   B +   =   +   +   +   =   +   +   +  Lập phương của hiệu: (   )   (   )  3   3   2   2   3   3   3  A   B   A   3A B   3AB   B   A   B   3AB A   B    =      +      =           Tổng hai lập phương: (   )  (   )  (   )   (   )  3 3   3   2   2  A   B   A   B   A   AB   B   A   B   3AB. A   B +   =   +      +   =   +        Hiệu hai lập phương: (   )  (   )  (   )   (   )  3 3   3   2   2  A   B   A   B   A   AB   B   A   B   3AB. A   B    =      +   +   =      +     2. Một số hằng đẳng thức tổng quát (   )  (   )  n   n   n   1   n   2   n   2   n   1  a      a   b   a   a   b   ab   b            =      +   ++   + (   )  (   )  2k   2k   2k 1   2k 1   2k   3   2   2k 1  a      a – b   a   a   b   a   b   b            =   +   ++   + (   )  (   )  2k   1   2k   1   2k   2k 1   2k   2   2   2k  a   b   a   b   a      b   a   b   b +   +        +   =   +   +    (   )  2   2   2   2  a   b   c   a   b   c   2ab   2bc   2ca +   +   =   +   +   +   +   +  3. Nhị thức Newton (   )  n   n   1   n   1   2   n   2   2   n 1   n   1   n n   n   n  a   b   a   C a   b   C a   b   C   ab   b            +   =   +   +   ++   +  Trong đó (   )(   )   (   )  k n  n n   1   n   2 ... n   k   1 C   1.2.3...k                    =  Cách xác định hệ số của khai triển Newton.   Cách 1.   Dùng công thức (   )(   )   (   )  k n  n n   1   n   2 ... n   k   1 C   1.2.3...k                    =  Chẳng hạn hệ số của hạng tử 4   3  a b   trong khai triển của (   )  7  a   b +   là 4 7  7.6.5.4   7.6.5.4 C   35 4!   4.3.2.1  =   =   =Chú ý.  + (   )  k n  n! C   n! n   k !  =      với quy ước 0!   1 =   .  + Ta có n   k k n   n  C   C     =   nên 4   3 7   7  7.6.5. C   C   35 3!  =   =   =   .   Cách 2 .   Dùng tam giác Pa tx can     1  Dòng 1 (   )  n   1 =   1   1  Dòng 2 (   )  n   2 =   1   2   1  Dòng 3 (   )  n   3 =   1   3   3   1  Dòng 4 (   )  n   4 =   1   4   6   4   1  Dòng 5 (   )  n   5 =   1   5   10   10   5   1  Dòng 6 (   )  n   6 =   1   6   15   20   15   6   1  Trong tam giác hai cạnh bên gồm các số 1   và   dòng k   1 +    k (   )  k   1   .  Với n   4 =   thì   ta có (   )  4   4   3   2   2   3   4  a   b   a   4a b   6a b   4ab   b +   =   +   +   +   +  Với n   5 =   thì   ta có (   )  5   5   4   3   2   2   3   4   5  a   b   a   5a b   10a b   10a b   5ab   b +   =   +   +   +   +   +  Với n   6 =   thì   ta có (   )  6   6   5   4   2   3   3   2   4   5   6  a   b   a   6a b   15a b   20a b   15a b   6ab   b +   =   +   +   +   +   +   +  B.   Một số ví d  .  Với các hẳng đẳng thức đáng nhớ cũng như các hẳng đẳng thức mở rộng ta có  thẻ áp dụng khi giải một số dạng bài tập toán như sau.  + Áp dụng trực tiếp các hằ ng đ   các biểu thức số.  + Áp dụng các hằng đẳng thức để thu gọn biểu thức   và chứng minh các đẳng  thức .  + Áp dụng các hằng đẳng thức để giải bài toán tìm giá trị của biến.   Xác định hệ  số   của đa thức.  + Bài toán tính giá trị biểu thức với các biến có điều kiện.

Các hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng

TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 1  Phần I. HƯỚNG DẪN LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  Do những thay đổi trong tính chất và phương pháp thi trong năm học này nên việc ôn tập cũng thay đổi. Hình thức thi trắc nghiệm sẽ là phổ biến trong các môn thi. Để đáp ứng thi trắc nghiệm cần phải đạt được 4 mức độ kiến thức:  1.Nhận biết  * Nhận biết có thể được hiểu là học sinh nêu hoặc nhận ra các khái niệm, nội dung, vấn đề  * Các hoạt động tương ứng với cấp độ nhận biết là: nhận dạng, đối chiếu, chỉ ra... * Các động từ tương ứng với cấp độ nhận biết có thể là: xác định, liệt kê, đối chiếu hoặc gọi tên, giới thiệu, chỉ ra,...nhận thức được những kiến thức đã nêu trong sách giáo khoA. Học sinh nhớ được ( bản chất ) những khái niệm cơ bản của chủ đề và có nêu hoặc nhận ra các khái niệm khi được yêu cầu. Đây là bậc thấp nhấ của nhận thức, khi học sinh kể tên, nêu lại, nhớ lại một sự kiện, hiện tượng. Chẳng hạn ở mức độ này, học sinh chỉ cần có kiến thức về hàm số bậc nhất để thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng để tìm ra tọa độ điểm phù hợp.  Ví dụ 1.   Giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2   2 25   3   10   11 P   x   y   x             là:  A.   10   B.   11   C.   12   D.   9     A.  Ví dụ 2.   Cho hình thang cân       // ABCD   AB   CD   có hai đường chéo vuông góc và đường cao  AH   h    . Khi đó tổng   S   của hai đáy là:  A.   2 S   h    B.   3 S   h    C.   5  2  S   h    D.   7  2  S   h      A.  Ví dụ 3.   Cho   2 a   b   c   d             . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   2   2   2   2  P   a   b   c   d             là:  A.   4   B.   2   C.   1   D.   3     C. 2. Thông hiểu  * Học sinh hiểu các khái niệm cơ bản, có khả năng diễn đạt được kiến thức đã học theo ý hiểu của mình và có thể sử dụng khi câu hỏi được đặt ra tương tự hoặc gần với các ví dụ học sinh đã được học tập trên lớp.TRẮC NGHIỆM TOÁN 8 2  * Các hoạt động tương ứng với cấp độ thông hiểu là: diễn giải, kể lại, viết lại, lấy được ví dụ theo cách hiểu của mình... * Các động từ tương ứng với cấp độ thông hiểu có thể là: tóm tắt, giải thích, mô tả, so sánh (đơn giản), phân biệt, trình bày lại, viết lại, minh họa, hình dung, chứng tỏ, chuyển đổi... Học sinh hiểu các khái niệm cơ bản và có thể sử dụng khi câu hỏi được đặt ra gần với các ví dụ học sinh đã được học trên lớp.  Ví dụ 1.   Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2   4   9 2   4  x   x P   x   x                là:  A.   7  3   B.   9  4   C.   2   D.   4  3     A.  Ví dụ 2.   Cho tam giác       ABC   AC   AB    . Lấy các điểm   , D E   tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh   , AB AC   sao cho   BD   CE    . Gọi   K   là giao điểm của các đường thẳng   , DE BC   . Đáp án nào đúng?  A.   KE   BA  KD   BC     B.   KE   AB  KD   AC    C.   KE   CB  KD   CA     D.   Cả ba kết quả trên đều sai     B.  Ví dụ 3.   Phương trình             2 2   2 2   3   1   3 2   3   5   16   0 x   x   x   x                      có bao nhiêu nghiệm?  A.   Có 1 nghiệm   B.   Có 2 nghiệm  C.   Có 3 nghiệm   D.   Có 4 nghiệm     D. 3. Vận dụng  * Học sinh vượt qua cấp độ hiểu đơn thuần và có thể sử dụng, xử lý các khái niệm của chủ  lớp. Học sinh có khả năng sử dụng kiến thức, kĩ năng đã học trong những tình huống cụ thể, tình huống tương tự nhưng không hoàn toàn giống như tình huống đã học trên lớp ( thực hiện nhiệm vụ quen thuộc nhưng mới hơn thông thường ). * Các hoạt động tương ứng với vận dụng ở cấp độ thấp là: xây dựng mô hình, phỏng vấn, trình bày, tiến hành thí nghiệm, xây dựng các phân loại, áp dụng quy tắc (định lí, định luật, mệnh đề...), sắm vai và đảo vai trò,...

Bài tập trắc nghiệm Toán 8

Chương II I  TAM GIÁC Đ  NG D  NG   NH LÍ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC A. TÓM T  T LÍ THUY  T  1. Đoạ n th  ng t    l  .  Hai đoạ n th  ng AB và CD g  i là t    l    v  n th  ng       A B   và       C D   n  u có t    l    th  c      =        AB   A B CD   C D   hay   . =            AB   CD A B   C D  2. Đị nh lí Ta-lét trong tam giác  N  u m  ng th  ng song song v  i m  t c  nh c  a tam giác và c  t hai c  nh còn l  i thì nó   nh ra trên hai c  ng    an th  ng t    l  . ,   . //         =   =    ABC   AD   AE   AD   AE DE   BC   AB   AC   DB   EC  B. CÁC D  NG TOÁN D  ng 1. TÍNH TOÁN, CH  NG MINH V    T    S    C  N TH  NG VÀ   N TH  NG T    L   Phương pháp giả i  Thườ ng s    d  ng các tính ch  t c  a t    l    th  c.  Ví d    1.   (Bài 3 SGK) Cho bi    dài c  a AB g  p 5 l    dài c    dài c  a       A B   g  p 12 l   dài c  a CD. Tính t    s    c  n th  ng AB và       A B   .  Gi  i  5   5 . 12   12  =   =      AB   CD A B   CD Ví d    2.   (Bài 19 SGK) Cho hình thang   (   //   ). ABCD   AB   CD    ng th  ng   a   song song v  i DC, c  t các c  nh AD và BC theo th    t    t  i E và F. Ch  ng minh r  ng: a)   ; =  AE   BF ED   FC   b)   ; =  AE   BF AD   BC   c)   . =  DE   CF DA   CBGi  i  a) G  m c  a   a   và AC. Ta có: // DC a   nên   ; =  AE   AI ED   IC // a   AB nên   . =  AI   BF IC   FC Suy ra   =  AE   BF ED   FC b) L  t ch  ng minh   . =   =  AE   AI   BF AD   AC   BC c) L  t ch  ng minh   . =   =  DE   CI   CF DA   CA   CB  Ví d    3.   (Bài 4 SGK) Cho bi  t       =  AB   AC AB   AC   (H.6 SGK). Ch  ng minh r  ng: a)   ;      =      AB   AC B B   C C b)   .      =     BB   CC AB   AC  Gi  i    ng tính ch  t c  a t    l    th  c: .                  =      =      =                AB   AC   AB   AC   AB   AC AB   AC   AB   AB   AC   AC   B B   C C .                      =      =      =  AB   AC   AB   AB   AC   AC   BB   CC AB   AC   AB   AC   AB   AC  D  ng 2. S    D  NH LÍ TA- LÉT ĐỂ   TÍNH ĐỘ   DÀI ĐOẠ N TH  NG  Phương pháp giả i  Xét đườ ng th  ng song song v  i m  t c  nh c  a tam giác, l  n th  ng t    l  , s    d  ng các tính ch  t c  a t    l    th    tính toán.  Ví d    4.   (Bài 5 SGK)  Tính x trong các trườ ng h  p sau (H.7 SGK);

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập tam giác đồng dạng

1  M  C L  C  CHUYÊN ĐỀ   1. T    GIÁC   .................................................................................................................................................. 2  CHUYÊN ĐỀ   2. HÌNH THANG. HÌNH THANG CÂN. D  NG HÌNH THANG   .......................................................... 5  CHUYÊN ĐỀ   3. ĐƢỜ NG TRUNG BÌNH C  A TAM GIÁC, C  A HÌNH THANG  ................................................... 11  CHUYÊN ĐỀ   4. HÌNH BÌNH HÀNH  ............................................................................................................................... 17  CHUYÊN ĐỀ   5 .   HÌNH CH    NH  T   ................................................................................................................................ 22  CHUYÊN ĐỀ   6. HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG   ........................................................................................................ 28  CHUYÊN ĐỀ   7. ĐỐ I X  NG TR  C       I X  NG TÂM   ............................................................................................. 35  CHUYÊN ĐỀ   8. VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN   ......................................................................................................... 41

Phát triển tư duy sáng tạo giải toán Hình học 8

Chƣơng IV. HÌNH LĂNG TRỤ    NG  HÌNH CHÓP ĐỀ U  A. HÌNH LĂNG TRỤ    NG   P CH    NH  T A. TÓM T  T LÍ THUY  T     Hình h  p ch    nh  t có 6 m  t là nh  ng hình ch    nh  t (hình a).  a)   b)     Hình l  p phương là hình h  p ch    nh  t có 6 m  t là nh  ng hình vuông.     N  u m  t đư  ng th  ng d   có hai đi  m thu  c m  t ph  ng (P)   thì m  i đi  m c  a nó đ  u thu  c  m  t ph  ng (P)   . Ta nói     ng th  ng d   n  m trong m  t ph  ng (P)   .  B. CÁC D  NG TOÁN D  ng 1. K    TÊN CÁC ĐỈ NH, CÁC C  NH, CÁC M  T C  A HÌNH H  P CH    NH  T  Phƣơng pháp giả i  Hình h  p ch    nh  t có 6 m  t, 8 đ  nh, 12 c  nh.  Ví d    1.   (Bài 1 SGK) Hãy k    tên nh  ng c  nh b  ng nhau c  a hình h  p ch    nh  t ABCD.MNPQ   (H.72 SGK).  Gi  i AB   CD   PQ   MN         . AD   MQ   NP   BC         . AM   BN   CP   DQ         .  Hình 72 SGK D ' C ' B ' A ' D   C B A D ' C ' B ' A ' D   C B A P Q N M B AD  ng 2.   NH  N BI  T M  M THU  C M  T    NG TH  NG, THU  C M  T M  T PH  NG  Phƣơng pháp giả i  N  u m  t đư  ng th  ng có hai đi  m thu  c m  t m  t ph  ng thì m  i đi  m c  a đư  ng th  ng    u thu  c m  t ph  ng đó.  Ví d    2.   ( Bài 2 SGK) 1   1   1   1 ABCD.A B C D  là   m    hình   h    ch  nh  a) N  O   là trung đi   a đo  1 CB   thì O  có là đi   c đo  1 BC   hay không?  b)   K là đi    CD   , li  K   có th    là đi    1 BB   hay không?   Hình 73 SGK  Gi  i  a) 1   1 BCC B   là hình ch    nh  t, O   là trung điể m c  ng chéo 1 CB   nên cũng là trung  m c  ng chéo 1 BC   . V  y O   thu  n 1 BC   . b) K   không thu  c c  nh 1 BB   .  D  ng 3.   V    HÌNH BI  U DI  N C  A HÌNH H  P CH    NH  T. G    C HÌNH H  P CH    NH  T  Phƣơng pháp giả i  Quan sát hình bi  u di  n c  a hình h  p ch    nh  t đ    bi  t cách v      i các bài g  p  hình, có th    c  t gi  y đ    tìm cách g  p.  Ví d    3.   (Bài 4 SGK)  Xem hình 74a SGK, các mũi tên hướ ng d  n cách ghép các c  nh v    có   c   m  t hình l   a)   b) O  K  D 1   C 1  B 1 A 1  D   C  B A

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập hình lăng trụ đứng, hình chóp đều

Chương IV  B  T PHƯƠNG TRÌNH B  C NH  T M  T    N  Bài 1: LIÊN H    GI  A TH    T    VÀ PHÉP C  NG Bài 2: LIÊN H    GI  A TH    T    VÀ PHÉP NHÂN A. TÓM T  T LÝ THUY  T 1. V  i ba s    , , a b c   ta có:  + N  u   a   b <   thì   ; a   c   b   c +   <   + + N  u   a   b >   thì   ; a   c   b   c +   >   + + N  u   a   b    thì   ; a   c   b   c +      + + N  u   a   b    thì   ; a   c   b   c +      + + Khi c  ng cùng m  t s    vào c    hai v    c  a m  t b  ng th  c b  ng th  c m  i cùng chi  u v  i b     ng th   2. V  i ba s    , a b   và   c   mà   0 c   >   , ta có:  + N  u   a   b <   thì   ac   bc <   , n  u   a   b    thì   ; ac   bc  + N  u   a   b >   thì   ac   bc >   , n  u   a   b    thì   . ac   bc   3. V  i ba s    , a b   và   c   mà   0 c   <   , ta có:  + N  u   a   b <   thì   ac   bc >   , n  u   a   b    thì   ; ac   bc  + N  u   a   b >   thì   ac   bc <   , n  u   a   b    thì   . ac   bc  + Khi nhân c    hai v    c  a b  ng th  c v  i cùng m  t s    dương thì đượ c b  ng th  c m  i cùng chi  u v  i b  ng th   + Khi nhân c    hai v    c  a b  ng th  c v  i cùng m  t s     c b  ng th  c m  i  ngượ c chi  u v  i b  ng th   B. CÁC D  NG TOÁN D  ng 1: BI  U TH    TH    T    CÁC S  .  Phương pháp   gi  i +   : a   b <    c là   a   nh    hơn   b   . +   : a   b     c là   a   nh    hơn hoặ c b  ng   b   . +   Chú ý đế n quy t  c c  ng và nhân c    hai v    b  ng th  c cho cùng m  t s  .  Ví d    1.   ( Bài 1, trang 37 SGK) B  ng th  c nào bi  u th       t    các s    ? Vì sao? a)   (   ) 2   3   2;    +      b)   (   ) 6   2.   3 ;        c)   (   )   (   ) 4   8   15   8 ; + −   <   + −   d)   2   1   1. x   +     Gi  i  a)   (   ) 2   3   2    +      sai vì   1   2    là b  ng th  c sai. b)   (   ) 6   2.   3             6   6.    = −  c)   (   )   (   ) 4   8   15   8 + −   <   + −      4   15 <   c  ng vào hai v    b  ng th  c cho   8.  d)   2   1   1 x   +         2   0 x       i   . xVí d    2.   ( Bài 4, trang 37 SGK)   . M  t bi  n báo giao thông v  i n  n tr  ng, s    20 màu đen, viề n     ( xem hình bên) cho bi  t v  n t  c t  n  giao thông được đi trên quãng đườ ng có bi  nh là 20   / km   h   . N  u m  n t  c là   (   /   ) a km   h thì   a   ph  i th  u ki  u ki  n sau: 20; a   >   20; a   <   20; a      20? a    T    t     20 a     Ví d    3.   ( Bài 5, trang 39 SGK) B  ng th  c nào bi  u th       t    các s    ? Vì sao? a)   (   )   (   ) 6 .5   5 .5;    <      b)   (   ) (   )   (   ) (   ) 6 .   3   5 .   3 ;       <       c)   (   ) (   )   (   ) 2003 .   2005   2005 .2004;             d)   2 3   0. x      Gi  i  a) B  ng th    6   5    < −   và   5   0 >   nên   (   )   (   ) 6 .5   5 .5    <    b) B  ng th  c sai, vì t    6   5    < −   và   3   0    <   nên:   (   ) (   )   (   ) (   ) 6 .   3   5 .   3 .       >       c) B  ng th    trái là s    dương còn vế   ph  i âm. d) B  ng th    2   0 x      nên   2 3.   0 x       v  i m  i   . x  Ví d    4.   ( Bài 7, trang 40 SGK) S    a   là s        dương nế u:   12   15 ;   4   3 ;   3   5   ? a   a   a   a   a   a <   <      > − - Vì   12   15 <   nên t    12   15 a   a <   suy ra   0. a   > - Vì   4   3 >   nên t    4   3 a   a <   suy ra   0. a   < - Vì   3   5    > −   nên t    3   5 a   a    > −   suy ra   0. a   >  Ví d    5 . ( Bài 9, trang 40 SGK) Cho tam giác   . ABC   Các kh   a)            0 180 ; A   B   C +   +   >   b)         0 180 ; A   B +   < c)         0 180 ; B   C +      d)         0 180 . A   B +     Gi  i  a)            0 180 A   B   C +   +   >   là b  ng th  c sai.  b) , c) đúng, d) Sai.  Ví d    6.   (Bài 10, trang 40 SGK) a) So sánh   (   ) 2 .3    và   4,5  b) T    k  t qu    câu a) hãy ch  ng th  c sau:  (   )   (   ) 2 .30   45;   2 .3   4,5   0    < −      +   <  Gi  i  a) Ta có   (   ) 2 .3   6   4,5    = −   < −   suy ra   (   ) 2 .3   4,5    < − b) Theo a)   (   ) 2 .3   4,5    < −   và   10   5 >   nên:

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập bất phương trình bậc nhất một ẩn

1  Bïi v ̈n tuyªn (Chñ biªn) nguyÔn ®øc tr-êng - NGUYÔN TAM S¥N  PH ̧T TRIÓN T¦ DUY S ̧NG T¹O GI¶I TO ̧N ®¹I Sè 8

Phát triển tư duy sáng tạo giải toán Đại số 8

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8  Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng   0814000158   1  CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC  MỤC LỤC  I. LÝ THUYẾT ................................................................................................................................... 2  II.   MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ............................................................................................. 3  Phương pháp 1.   Sử dụng phép biến đổi đồng nhất ...................................................................... 3  Dạng 1.   Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc hai đơn giản ............................................... 3  Dạng 2.   Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc bốn đơn giản ............................................ 10  Dạng 3.   Tìm GTNN và GTLN của biểu thức dạng   A  B   ........................................................ 14  Dạng 4.   Tìm Min, Max của biểu thức có điều kiện của biến .............................................. 31  Dạng 5.   Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: ....................................................................... 41  Dạng 6.   Tìm Min, Max bằng cách sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối ... 44  Phương pháp 2.   Phương pháp chọn điểm rơi ............................................................................ 47  Phương pháp 3.   Sử dụng phương pháp đặt biến phụ ................................................................. 53  Phương pháp 4.   Sử dụng biểu thức phụ ..................................................................................... 56  Phương pháp 5.   Phương pháp miền giá trị ................................................................................ 59  Phương pháp 6.   Phương pháp xét từng khoảng giá trị .............................................................. 61  Phương pháp 7.   Phương pháp hình học ..................................................................................... 64Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8  Bieân soaïn: Traàn Ñình Hoaøng   0814000158   2  I. LÝ THUYẾT  1. Định nghĩa     M. được gọi là GTLN của f(x,y,...) trên miền xác định D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y,...)      M    (x,y,..)      D 2.      (x 0 , y 0 ,...)      D sao cho f(x 0 , y 0 ...) = M. Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = f max   với (x,y,...)      D     M. được gọi là GTNN của f(x,y,...) trên miền D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y,...)      M    (x,y,..)      D 2.      (x 0 , y 0 ,...)      D sao cho f(x 0 , y 0 ...) = M. Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = f min   với (x,y,...)      D  2. Các kiến thức thường dùng 2.1. Luỹ thừa :  a)   x 2      0    x      R      x 2k      0    x      R, k      z         x 2k      0 Tổng quát :    f (x)  2k      0    x      R, k      z          f (x)  2k      0 Từ đó suy ra :    f (x)  2k   + m      m    x      R, k      z M       f (x)  2k      M  b)   x      0    x      0      (   x   ) 2k      0    x      0; k    z Tổng quát : (   A   ) 2k      0      A      0 (A là 1 biểu thức)  2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối :  a) |x|      0      x  R b) |x + y|      |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra      x.y      0 c) |x      y|      |x|      |y| ; nếu "=" xảy ra      x.y      0 và |x|      |y|  2.3. Bất đẳng thức côsi :   ai      0 ; i =   n , 1   :   n   n n   a a a n a a a   ..... . ....   2 1 2 1          n  N, n      2. dấu "=" xảy ra      a 1   = a 2   = ... = a n  2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki   :  Với n cặp số bất kỳ a 1 , a 2 ,..., a n   ; b 1 , b 2 , ...,b n   ta có : (a 1 b 1   + a 2 b 2   +...+ a n b n ) 2      (   ) .... ).( ....   2 2 2 2 1 2 2 2 2 1   n n   b b b a a a          Dấu "=" xảy ra      1   2   n 1   2   n  a   a   a ...   Const b   b   b              = Const Nếu bi = 0 xem như ai = 0  2.5. Bất đẳng thức Bernonlly :  Với a      0 : (1 + a) n      1 + na    n    N. Dấu "=" xảy ra      a = 0.

Chuyên đề tìm GTLN – GTNN của biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

1  TRƯ  NG THCS TÔ HOÀNG  Năm họ c 2021 - 2022      CƯƠNG ÔN T    MÔN : TOÁN 8 N  i dung ôn t  p:   i s  :   H  c thành nhân t    b  ng cách ph  i h  p nhi   Hình h  c:   H  t bài 7 “Hình bình hành”  A/ ĐẠ I S   D  NG 1: TH  C HI  N PHÉP TÍNH Bài 1:   Th  c hi  n phép tính a)   (   ) 2   3 5   6 x   x   x     b)   (   ) 2 3   4   5   10 x   x   x    + c)   (   )(   ) 2 x   y   x   y +    d)   (   )   (   )(   )   (   )  2   2 2   1   2   3   2   1   3 x   x   x   x +         +   +    e)   2   4   8   16   128 3.(2   1)(2   1)(2   1)(2   1)...(2   1) +   +   +   +   +  Bài 2:   Vi  i d  a m  t t  ng hay m  t hi  u a)   2   2   1 y   y +   + b)   2   2 9   6 x   y   xy +    c)   2   2 25   4   20 a   b   ab +   + d)   2   1 4  x   x    +  Bài 3:   Cho   (   )   (   )   (   )(   )  2 2   1   5   1   2   1   2 A   x   x x   x   x =            +   +    a) Rút g  n bi  u th  c A b) Tính giá tr    c  a A v  i   1 2  x    = c) Tìm   x      3 A   = −  Bài 4:  a) Tính giá tr    c  a bi  u th  c:   3   2   2   3 8   12   6 M   x   x y   xy   y =      +      t  i   6;   8 x   y =   = − b) Ch  ng minh giá tr    c  a bi  u th  c sau không ph    thu  c vào giá tr    c  a   x  (   )   (   ) 2   3 2   1   2   2014 A   x   x   x   x   x   x =   +      +   +      +  D  C THÀNH NHÂN T   Bài 1:   Phân tích các    c sau thành nhân t   a)   2 5   10 x   xy    b)   (   ) 2   2011   2011 x   x   x       +   c)   2   2 2   1 x   x   y    +   +     Bài 2:   Phân tích các đa thứ c sau thành nhân t   a)   2   2   2   2 14   21   28 x y   xy   x y    + b)   2   2 6   9 x   x   y    +    c)   (   )   3   3 x x   y   x   y +       d)   (   ) 2 2   2   4 x   x +       e)   3(   )   5 (   ) x   y   x x   y        f)   (   1)   (   1) x y   y y        g) 10 (   )   8 (   ) x x   y   y x   y        h)   2   3 2   5   3 x   xy   x +     Bài 3:   Phân tích các đa thứ c sau thành nhân t  . a)   3   1 27   27  x    b)   2 3   3   5   5 x   xy   x   y       + c)   2   7   12 x   x +   + d)   3   7   6 x   x     e)   3   2 2 x   x   x    + g)   3 9 x   x  h)   2   2 6   9 x   x   y +   +    i)   2   2 81   2 x   xy   y    +    j)   5(   ) xz   yz   x   y +      + k)   2 3   3   5   5 x   xy   x   y       + l)   2   2 4   4 x   x   y +      + m)   2   2   2 3   6   3   3 x   xy   y   z +   +    q)   2   6 x   x     r)   2   5   6 x   x +   + s)   2   4   3 x   x    + u)   4   1 x   + v)   10   5   1 a   a +   + w)   4   4   4 x y   +  D  NG 3: TÌM X Bài 1:   Tìm x, bi  t 1)   (   ) 2   2   0 x x   x    +      = 2)   (   ) 5   3   3   0 x x   x       +   = 3)   (   )   (   ) 12   3   4   7 4   3   0 x   x   x    +      = 4)   (   )   (   )   (   )(   ) 2 2   2   4   5   5   17 x   x   x   x   x   x +      +   +      +   = − 5)   (   ) 2 2 9   4   2 3   2   0 x   x          = 6)   2 3   6   0 x   x    = 7)   3   0 x   x +   = 8)   2   25   0 x      = 9)   2   6   9   0 x   x    +   = 10)   2   5   6   0 x   x +   +   = 11)   2   4   3 x   x    = −2  12)   3   1   0 4  x   x    = 13)   2   10   25 x   x    = − 14)   2   2   3   0 x   x       = 15)   3 1   (   1) x   x +   =   +  Bài 2:   Tìm x; y: a)   2   2 2   5   4   0 x   x   y   y    +   +      = b)   2   2 4   13   6   8   0 x   y   x   y +   +         = c)   2   2   6   10   34   0 x   y   x   y +   +      +   =  d)   2   2 25   10   9   12   5 x   x   y   y    +      +   =0  Bài 3:   Ch  ng minh a)   2   6   10   0 x   x   x    +   >      b)   2 4   5   0 x   x   x       <      c)   2   4 64   0 x   x   x    <     Bài 4:   Tím giá tr    nh    nh  t ho  c giá tr    l  n nh  t: a)   2   2   5 A   x   x =      + b)   2 2   6 B   x   x =    c)   2   2   6   10 C   x   y   x   y =   +      +   + d)   2 4   3 D   x   x =      + e)   2  E   x   x =    f)   2 2   2   5 F   x   x =        D  NG 4: NÂNG CAO Bài 1:   Cho   10. a   b    =   Tính   (   )   (   )(   )   (   )  2   2 2   3   2 2   3   3   2   2   3 A   a   b   a   b   a   b   b   a =      +         +     Bài 2:   Tìm giá tr    nh    nh  t c  a bi  u th  c a) 2 2 2   2014 ;  a   a A   a     + = b)   2   2 4   5   10   22   28; B   a   ab   b   a   b =      +   +      + c)   (   1)(   2)(   3)(   6); C   x   x   x   x =      +   +   + d)   2   2 20   8      2009 x   y   x   y D   y +   +   + =  Bài 3:   Tìm x; y; z th  a mãn   2   2   2 9   2   18   4   6   20   0 x   y   z   x   z   y +   +      +      +   =  Bài 4:   Ch  ng minh r  ng a)   2   2   1 (11   12   ) 133 n   n   n   N +   + +        b)   2   2   1 (5   26.5   8   ) 59 n   n   n   n   N +   + +   +        c)   2 (7.5   12.6 ) 19 n   n   n   N +         B/ HÌNH H  C Bài 1:   Cho tam giác ABC (AB < AC), đườ ng cao AH. G  i D, E, F l  m c  a các c  nh AB, AC, BC. a) Ch  ng minh r  ng t    giác BDEF là hình bình hành . b) Ch  ng minh t    giác EFHD là hình thang cân. c) Bi  t      60 o B   =   , tính các góc c  a t    giác EFHD.  Bài 2:   Cho hình bình hành ABCD. G  i H và K l  t là hình chi  u c  ng chéo BD. a) Ch  ng minh r  ng AHCK là hình bình hành. b) G  m c  a HK. Ch  ng minh r  i x  ng v  i C qua O.  Bài 3:   Cho tam giác ABC vuông t  i A ( AB < AC ),    ng trung tuy  n AI. Qua I v    IM vuông góc v  i AB ( M   i AC ( N      AC ). a) Cho AB = 9cm, AC = 12cm. Tính IM, IN, MN. b) Ch  ng minh r  ng t    giác NMBI là hình bình hành. c)    ABC vuông t  u ki  n gì thì t    giác BMNC là hình thang cân.  Bài 4:   Cho    ABC vuông t  ng cao AD. G  i M, N l  i x  ng v  i D qua AB và AC. DM c  t AB t  i E, DN c  t AC t  i F. a) T    giác MEFN là hình gì ? t  i sao ? b) Ch  i x  ng v  i N qua A c) T    giác BMNC là hình gì ? t  i sao ?  Bài 5:   Cho tam giác ABC vuông t  i A, trung tuy  m c  a AB.G  i x  ng v  i x  ng v  i A qua M. a) Ch  i x  ng v  i M qua AB. b) T    giác AEMC là hình gì ?

Tài liệu Toán 8